高等数学复旦大学出版社习题答案三(5)

bb解：y??2ax?b?0得x??2a不可能属于以0和a为端点的闭区间上, 而 y(0)?0 ,y??b?2b2?a???a,

故当a>0时，函数的最大值为y??b??a???2b2a，最小值为y(0)?0;

当a<0时，函数的最大值为y(0)?0，最小值为y??b?2b2?a???a.

25. 已知a>0，试证：f(x)?11?x?11?x?a的最大值为2?a1?a.

??111?x?1?x?a,x?0?证明： f(x)???111?x?1?x?a,0?x?a

???1?1?x?11?x?a,x?a当x<0时，f?(x)?1?1?x?2?1?1?x?a?2?0;

当0此时令f?(x)?0，得驻点x?a?2，且f?a?4?2???2?a， 当x>a时，f?(x)??11?1?x?2??1?x?a?2?0,

又lim2?ax??f(x)?0，且f(0)?f(a)?1?a. 而f(x)的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得

故 f(x)4max??2?a,2?a1?a,0??2?a1?a. 26. 在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.

h, 则圆柱体底圆半径为r2?h2解：设圆柱体的高为4，

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?2h2?πV?π?r???h?πr2h?h3

44??令V??0, 得h?223r. 3即圆柱体的高为23r时，其体积为最大. 327. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am2，问底宽x为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知

1x?xy??π????a

2?2?21a?x2πa18得 y???xπ

xx812题图

截面的周长

12a112aπl(x)?x?2y?π?x?x??xπ?xπ?x??x,2x42x4

π2al?(x)?1??2,4x令l?(x)?0得唯一驻点x?8a，即为最小值点. 4?π即当x?8a时，建造材料最省. 4?π28. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB的何处时，所需电线最短？ 解：所需电线为

L(x)?x2?1?1.52?(3?x)2 (0?x?3)L?(x)?x2.25?(3?x)2?(3?x)x2?1x2?12.25?(3?x)2

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13题图

在0

V?(a?2x)2?x?4x3?4ax2?a2xV??12x2?8ax?a2

令V??0得驻点x?a2(不合题意，舍去)，x?a6. 即小正方形边长为

a6时方盒容积最大. 30. 判定下列曲线的凹凸性：

(1) y=4x－x2；

解：y??4?2x,y????2?0，故知曲线在(??,??)内的图形是凸的.

(2) y?sin(hx)； 解：y??coshx,y???sinhx.

由sinhx的图形知，当x?(0,??)时，y???0，当x?(??,0)时，y???0，故y=sinhx的曲线图形在(??,0]内是凸的，在[0,??)内是凹的.

(3) y?x?1x (x?0)；

解：y??1?12x2,y???x3?0，故曲线图形在(0,??)是凹的.

(4) y=xarctanx. 解：y??arctanx?x1?x2，

y???2(1?x2)2?0 故曲线图形在(??,??)内是凹的.

31. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：

(1) y?x3?5x2?3x?5；

解：y??3x2?10x?3

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y???6x?10，令y???0可得x?53. 当x?53时，y???0，故曲线在(??,53)内是凸弧； 当x?553时，y???0，故曲线在[3,??)内是凹弧.

因此??5?3,20?27??是曲线的唯一拐点.

(2) y?xe?x；

解：y??(1?x)e?x, y???e?x(x?2)

令y???0，得x=2

当x>2时，y???0，即曲线在[2,??)内是凹的； 当x<2时，y???0，即曲线在(??,2]内是凸的. 因此(2，2e－

2)为唯一的拐点.

(3) y?(x?1)4?ex；

解：y??4(x?1)3?ex, y???ex?12(x?1)2?0 故函数的图形在(??,??)内是凹的，没有拐点.

(4) y=ln (x2+1)；

2x2(1?x2解：y??)1?x2, y???(1?x2)2 令y???0得x=－1或x=1.

当－1

当x>1或x<－1时，y???0，即在(??,?1],[1,??)内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).

(5) y?earctanx；

解：y??11?x2earctanx, y???1?2x(1?x2)2earctanx 令y???0得x?12.

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当x?12时，y???0，即曲线在[12,??)内是凸的； 当x?12时，y???0，即曲线在(??,12]内是凹的，

故有唯一拐点(1arctan122,e). (6) y=x4(12lnx－7).

解：函数y的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.

y??4x3(12lnx?4), y???144x2lnx.

令y???0，在(0，+∞)，得x=1.

当x>1时，y???0，即曲线在[1,??)内是凹的; 当0

32. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：

n(1) 12?xn?yn????x?y??2?? (x?0,y?0,x?y,n?1);

证明：令 f(x)?xn

f?(x)?nxn?1, f??(x)?n(n?1)xn?2?0，

则曲线y=f(x)是凹的，因此?x,y?R?，

f??x?y?f(x)?f(y?2???)2, n即 ??x?y??2???12(xn?yn).

(2)ex?eyx?y2?e2 (x?y);

证明：令f(x)=ex

f?(x)?ex, f??(x)?ex?0.

则曲线y=f(x)是凹的，?x,y?R, x?y

则 f??x?y??f(x)?f(y?2?)?2

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