高等数学复旦大学出版社习题答案三

习题三

1. 验证：函数f(x)?lnsinx在[,π5π]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的?，使66f?(?)?0.

π5ππ5ππ5π]上连续，在(,)上可导，且f()?f()??ln2，666666π5ππ5π即在[,]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点??(,),使f?(?)?0.

6666cosxππ5ππ

?cotx?0得x??(,),故取??，可使f?(?)?0. 事实上，由f?(x)?sinx2662

证：f(x)?lnsinx在区间[,2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的?？

?x2, 0?x?1,⑴ f(x)?? [0,1] ；

?0, x?1, ⑵ f(x)?x?1, [0,2] ；

?sinx, 0?x?π,⑶ f(x)?? [0,π] .

1, x?0, ?解：⑴ f(x)在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而f?(x)?2x(0?x?1)，即在（0，1）内不存在?，使f?(?)?0.罗尔定理的结论不成立.

⑵ f(x)???x?1, 1?x?2,

?1?x, 0?x?1. f?(1)不存在，即f(x)在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件.

?1, 1?x?2, 而f?(x)??

?1, 0?x?1.? 即在（0，2）内不存在?，使f?(?)?0.罗尔定理的结论不成立.

⑶ 因f(0)?1?f(π)=0,且f(x)在区间[0,π] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而f?(x)?cosx(0?x?π),取??

π

，使f?(?)?0.有满足罗尔定理结论的2

??

π. 2

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故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.

3. 函数f(x)?(x?2)(x?1)x(x?1)(x?2)的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？

解：因为f(2)?f(1)?f(0)?f(?1)?f(?2)?0，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，

[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有?1?(?2,?1),?2?(?1,0),?3?(0,1),?4?(1,2),使得f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?f?(?4)?0.因此，f?(x)至少有4个零点，且分别位于(?2,?1),(?1,0),(0,1),(1,2)内.

4. 验证：拉格朗日定理对函数f(x)?x3?2x在区间[0，1]上的正确性.

验证：因为f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由f(1)?f(0)?f?(?)(1?0)得3?2?2?2 解得??11，即存在??使得拉格朗日定理的结论成立. 335. 如果f?(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导且f?(a)?0,f??(x)?0,证明：f(b)?f(a).

证明：因为f?(x)在[a, b]上连续，在（a，b）内可导，故在[a，x]上应用拉格朗日定理，则???(a,x),(a?x?b)，使得f??(?)?于是f?(x)?f?(a)?0,故有f(b)?f(a)

6. 设f(a)?f(c)?f(b)，且a?c?b,f??(x)在[a，b]内存在，证明：在（a，b）内至少有一点?，使f??(?)?0.

证明：f??(x)在[a，b]内存在，故f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且

f?(x)?f?(a)?0,

x?af(a)?f(c)?f(b)，故由罗尔定理知，??1?(a,c)，使得f?(?1)?0，??2?(c,b)，

使得f?(?2)?0，又f?(x)在[?1,?2]上连续，在(?1,?2)内可导，由罗尔定理知，

???(?1,?2)，使f??(?)?0，即在（a，b）内至少有一点?，使f??(?)?0.

7. 已知函数f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f(a)?f(b)?0，试证：在（a，b）内至少有一点?，使得

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f(?)?f?(?)?0, ??(a,b).

证明：令F(x)?f(x)?ex,F(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且F(a)?F(b)?0，由罗尔定理知，???(a,b)，使得F?(?)?，即f?(?)?e?f?(?)0?e,即

f(?)?f?(?)?0, ??(a,b).

8. 证明恒等式：

2x?π (x?1). 21?x2x证明：令f(x)?2arctanx?arcsin,

1?x22arctanx?arcsin12(1?x2)?2x?2x?(1?x2)22x21?() 1?x222 ???0221?x1?x2f?(x)??21?x故f(x)?C，又因f(1)?π,所以f(x)?π,即2arctanx?arcsin9. 对函数f(x)?sinx及g(x)?x?cosx在[0,验证：f(x)，g(x)在[0,足柯西定理的条件.

2x?π. 1?x2?2]上验证柯西定理的正确性.

?]上连续，在(0,)内可导，且g?(x)?1?sinx?0，满22?πf()?f(0)?2co?sπ?f(?)2??cot(?, )由 ,得 ?π?π?21?si?n42g()?g(0)g(?)2ππ?2π?(0,)满足柯西定理的结论. 故???2arctan222b)内有n阶导数，且10. 设f(x)在[a,b]上有(n?1)阶连续导数，在(a,f(b)?f(a)?f?(a)???f(n?1)(a)?0.试证：在(a,b)内至少存在一点?，使f(n)(?)?0.

证明：首先，对f(x)在[a,b]上应用罗尔定理，有a1?(a,b)，即a?a1?b，使得其次，对f?(x)在[a,b]上应用罗尔定理，有a2?(a1,b)，即a?a1?a2?b， f?(a1)?0；

使得f??(a2)?0;? 一,般地，设在(a,b)内已找到n?1个点a1,a2,?,an?1,其中

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a?a1?a2???an?1?b,使得f(n?1)(an?1)?0，则对f(n?1)(x)?0在[an?1,b]上应用

罗尔定理有??(an?1,b)?(a,b),使得f(n)(?)?0. 11. 利用洛必达法则求下列极限：

⑴ limsin3xx?πtan5x; ⑵ limlnsinxx?π2(??2x)3;

⑶ limex?x?1x?0x(ex?1); ⑷ limsinx?sinax?ax?a; xm?amln(1?1⑸ limx)x?axn?an; ⑹ xlim???arccotx; ⑺ lnxxlim?0?cotx; ⑻ xlim?0?sinxlnx; ⑼ lim(ex1x?0x?e?1); ⑽ lim1xxx?0?(lnx); ⑾ xlim???(21π?arctanx)x; ⑿ lim(1x?0?sinx)x;

⒀ xlim[ln?0?x?ln(1?x)]; ⒁ xlim???(3x3?x2?x?1?x); 1⒂ limex?esinxx?0x?sinx; ⒃ lim(sinxx2x?0x);

⒄ lim[111(1?x)x]x.

x?0e解：⑴ 原式=lim3cos3xx?π5sec25x??35.

⑵ 原式=?1cotx1?csc24lim??limx??1. x?π2π-2x4x?π2?28⑶ 原式=limex?1exx?0ex?1?xex?limx?02ex?xex?lim1x?02?x?12.

⑷ 原式=limcosxx?a1?cosa.

⑸ 原式=limmxm?1x?anxn?1?mnam?n. 69

x⑹ 原式=xlim1?x?(?1x2)????lim1?x2?1.

?1x???x?x21?x21⑺ 原式=xlimx?0??csc2x??sin2xxlim?0?x?0. 1⑻ 原式=lnxxxlim?0?cscx?xlim?0??cscx?cotx?0. ⑼ 原式?e2x?ex?xe2x?ex?x2e2xxlim?0x(ex?1)=limx?0x2=lim?ex?1x?02x4e2x =lim?exx?02?32. ⑽ 原式=lim(1?lnx)xx?0? 令y?(1?lnx)x

1ln(1?lnx)1??(?1)xlim?0?lny?limlnxxx?0?1?limx??0 x?1x2 ?xlimx?0?1?lnx?1xlim?0??0?1x ∴原式=limy?e0x?0??1. ⑾ 令y?(2?arctanx)xπ，则

ln2π?lnarxctan11arctxa?n2 xl???imyl?nx???lim1??x1x???li1mx?x2

??1x2 2xlim???arctanx?1?x2??π2 ∴原式=e?π.

1⑿ 令y?(1?sinx)x，则

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