高等数学复旦大学出版社习题答案三(7)

11x. ，法线方程为y??8k8k4k??122, 得32k?1, 32k??1(舍去) 8k故 k??12. ??83238. 设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数，如果f?(x0)?0,f??(x0)?0，而

f???(x0)?0，试问x=x0是否为极值点?为什么？又(x0,f(x0))是否为拐点？为什么？

答：因f?(x0)?f??(x0)?0，且f???(x0)?0，则x=x0不是极值点.又在U(x0,?)中，

????(????f?(，故f??(x)?f??(x?(x?x)(?x0x))f??(x)在x0左侧与f???(x0)异号，在0)0)f?x0右侧与f???(x0)同号，故f(x)在x=x0左、右两侧凹凸性不同，即(x0,f(x0))是拐点.

39. 作出下列函数的图形：

(1)f(x)?x； 1?x2解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,

1?x2?2x21?x2y???22(1?x)(1?x2)2y???2x(x?3)(1?x2)32

令y??0，可得x??1， 令y???0，得x=0，?3,

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列表讨论如下：

x y′ y″ y 0 0 0 (0，1) + － 1 0 － (1，－ 3) 3 (3，+∞) － － 0 拐点 － + 极大 当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线. 函数有极大值f(1)?11?3?,(0，0)，，极小值f(?1)??，有3个拐点，分别为??3,? ?22?4??3?，作图如上所示.

?3,??4?(2) f(x)=x－2arctanx

解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,

21?x2 4xy???(1?x2)2y??1?令y′=0，可得x=±1， 令y″=0，可得x=0. 列表讨论如下：

X y′ y″ Y 又

0 0 0 (0，1) － + 1 0 极小 (1，∞) + + limx???x??f(x)2?lim(1?arctanx)?1 x??xxx???且 lim[f(x)?x]?lim(?2arctanx)??π

故y?x?π是斜渐近线，由对称性知y?x?π亦是渐近线.函数有极小值y(1)?1?大值y(?1)?π，极2π?1.(0，0)为拐点.作图如上所示. 2x2(3) f(x)?；

1?x解：函数的定义域为x?R,x??1.

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2x(1?x)?x2x(x?2)y??? (x??1)(1?x)2(1?x)2

y???2(1?x)3令y??0得x=0，x=－2

当x?(??,?2]时，y??0,f(x)单调增加； 当x?[?2,?1)时，y??0,f(x)单调减少； 当x?(?1,0]时，y??0,f(x)单调减少； 当x?[0,??)时，y??0,f(x)单调增加, 故函数有极大值f(－2)=－4，有极小值f(0)=0

又limx??1f(x)?limx2x??11?x??，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因limf(x)x??x?1x??f(x)?x)?lim?x2， 且lim(?x????1?x?x????1， 故曲线另有一斜渐近线y=x－1.

综上所述，曲线图形为：

(4)y?e?(x?1)2.

解：函数定义域为(－∞，+∞) .

y???2(x?1)e?(x?1)2y???e?(x?1)2?2(2x2?4x?1)

令y??0，得x=1.

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