钻柱摩阻计算与分析(13)

为了表达方便，本节采用如下两个坐标系：

(1) 空间笛卡尔直角坐标系o-xyz如图3.10所示, 其中ｏ取在井眼轴线上,一个螺距的左端；ｘ轴垂直于井眼轴线指向井壁下方,单位矢量为e1；ｚ轴沿井眼轴线向右, 指向杆管柱上方,单位矢量为e3；ｙ轴由右手法则确定,单位矢量为e2。

螺旋屈曲

y(e2) rb θ 正弦屈曲 y(e2) 垂直线 z (e3) α O O x(e1) x(e1) 图3.10 钻柱的正弦和螺旋屈曲

（2）柱坐标系 柱坐标系的原点与直角坐标系o-xyz的原点一致, 柱坐标系的极轴与直角坐标系o-xyz的ｘ轴一致, 柱坐标系的ｚ轴与直角坐标系o-xyz的

ｚ轴一致,极角如图3.10所示。 3） 微分方程

若钻柱轴线用r?Ue1?Ve2?We3表示；钻柱的内力用F?Fxe1?Fye2?Fze3表示；由补充假设（5）、(6)得

?r?0?tm?0???? ??H?0??t? (3.44)

40

d()d2()d3()d4()令()??,()???2,()????3,()?????4,根据补充假设(4),钻

dldldldl柱轴线的切向矢量

et?r??U? e1?V? e2?W? e3

(3.45)

其中，U、V、W分别为钻柱轴线的x、y、z方向的坐标。 将（3.45）代入（3.5）得

M?EI[(V?W???W?V??)e1?(W?U???U?W??)e2?(U?V???V?U??)ee

3]?Mt(U?e1?V?2?W?e3)将（3.44）～（3.46）代入（3.4）并分别点乘e1, e2, EI(V? W????W? V???)?MtU???FyW??FzV??EI(W? U????U? W???)?M?tV???FzU??FxW?? EI(U? V????V? U???)?MtW???FxV??FyU???由补充假设（4），得

(U?)2?(V?)2?(W?)2?1

代入（3.47）可以发现，由前两式可以导出第三式。因此，（在（3.48）的条件下不是独立的。

根据假设(3)

h?(qsinα?NcUr)eNV1?(cr)e2?qcosα?e3 bb式中:

q——单位长度钻柱的浮重，N/m；

41

(3.46)

e3得

(3.47)

(3.48)

3.47）的三个方程 (3.49)

?——井斜角，rad；

Nc——钻柱与井壁的线接触压力N/m； rb——井筒半径与钻柱半径之差，m。 代入(3.8)并积分得

F?Fxe1?Fye2?Fze3?F0?e1?(qsinα?0lllNVlNcU)dl?e2?cdl?e3?qcosαdl0r0rbblNVNcU??e1[?(qsinα?)dl?Fx0]?e2[?cdl?Fy0] 00rrbb (3.50)

?e3(?qcosαdl?Fz0)0l式中：l＝0时, F0?Fx0e1?Fy0e2?Fz0e3为钻柱的内力；Fx0 为l＝0时钻柱x方向的分力； Fy0为l＝0时钻柱y方向的分力；Fz0为l＝0时钻柱z方向的分力。式3-50分别点乘得e1, e2, e3

NcU?)dl?0rb?lNV?Fy?Fy0??cdl? 0rb??Fz?Fz0?qlcosα??Fx?Fx0??(qsinα?l (3.51)

根据补充假设（1）

U2?V2?rb

(3.52)

由（3.47）、（3.48）、（3.51）、（3.52）组成直角笛卡尔坐标系内油气井钻柱静力几何非线性屈曲微分方程

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EI(V W????W V???)?MtU???FyW??FzV???EI(W U????U W???)?MtV???FzU??FxW??EI(U V????V U???)?MtW???FxV??FyU???222?(U?)?(V?)?(W?)?1?lNcU?Fx?Fx0??(qsinα?)dl? 0rb??lNVcFy?Fy0??dl?0rb??Fz?Fz0?qlcosα??U2?V2?rb?由图3.10可知

U?rbcosθ??

V?rbsinθ? (3.53)

(3.54)

将（3.54）代入（3.53）, 经整理得

Fzθ?W???θ?θ?θ??(θ?)2qsinθsinα2 (3.55) EI[()??θ?????6(θ?)θ??]?()??Mt{?[]?}?W?W?W?W?rbW???(θ?)2Nc?qcosθsinα?rb{EI[??(θ?)4?3(θ??)2?4θ?θ???]W?

????MWθ1?[Mt(θ?)3?Mtθ????Fz(θ?)2]?t2]}W?(W?) (3.56)

其中, W?=1?(rbθ?)2。（3.55）式用于求解?，(3.56)式用于计算压力N。如果N有负值存在，则钻柱的实际变形与本文假设不符，需另行研究。

若令 W′≈ 1 、W″≈ 0 则得几何线性分析的微分方程：

qsinθsinα rbEI[?θ\\?6(θ?)2θ??]?(Fzθ?)??3Mtθ?θ??? (3.57)

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Nc?qsinαcosθ?rb{EI[?(θ?)4?3(θ??)2?4θ?θ???]?Mt(θ?)?Mtθ????Fz(θ?)}32 (3.58)

3.4.2 水平井段钻柱几何线性屈曲的数学模型

该节和下节的目的是为斜井段钻柱的稳定性判别打下基础。 1) 补充假设

在3.4.1补充假设的基础上再增补如下两条： (1)油井半径与钻柱半径之差相对于钻柱长度为小量； (2)井斜角为90度。 2）坐标系 …… 此处隐藏：459字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……