《复变函数与积分变换（刘建亚）》作业答案(8)

=-+=-+-+∑∑ 因为21 1 21 2(1 (22! 4 lim lim 0(21(22 2(1 (2! n n n n n n n n n n ρ ++-→∞

→∞-+===++-,所以收敛半径R =∞.

8、将下列各函数在指定点0z 处展成泰勒级数,并指出它们的收敛半径. (3 2 1z ,0

1z =-; (4 1 43z

-,01i z =+; (6 arctan z ,00z =. 解:(3 (2 0((1(1!1!!

n n n n z z f z n z c n n n --=-+== =+,则20 1

(1(1n n n z z ∞ ==++∑. 因为1 lim 1n n n ρ→∞

+==,所以收敛半径1R =. (4 (1 01

(3!(433!! (13in n n n

n n z z f z n z c n n --+=-== =-,则 [] 1

013(1i43(13in n n n z z ∞ +==-+--∑. 因为1 2 1 333lim (13i(13i10 n n

n n n ρ+++→∞==--,所以收敛半径103R =. (6 21222000000 arctan (((1 121n z

z z n n n n n n dz z z z dz z dz z n +∞∞∞=====-=-=-++∑∑∑???. 因为1 (1(1lim

123 21 n n

n n n ρ+→∞--==++,所以收敛半径1R =.

10、求下列各函数在指定圆环域的洛朗级数展开式: (2 2

1(1z z -,01z <<,11z <-<+∞; (5 21 (i

z z -,在以i 为中心的圆环域内; (7 1 (2(3 z z --,3z >.

解:(2 在01z <<内,由于011n n z z ∞ ==-∑,且2