《复变函数与积分变换（刘建亚）》作业答案(7)

n

n z n =-++; (4 i 2n n z e π-=. 解:(1

222221i 12i 12i

1i 111n n n n n n z n n n n +-+-===+-+++,当n →∞时,实部 2 2

111n n -→-+,虚部2 201n n

→+,所以{}n z 收敛于1-. (2 i i 5122n n n n z e ---??? ?=+= ? ? ???

??,当n →∞时502n -??→ ? ???

,那么0n z →,所以{}n z 收敛于0.

(3 当n →∞时,实部(1n -是发散的,所以 {}n z 发散. (4 i 2 cos isin 22 n n n n z e πππ-

==-,实部和虚部都发散,所以 {}n z 发散.

2、判断下列级数的收敛性与绝对收敛性: (1 21131i n n n n ∞ =??

??++?? ??????? ∑; (3 i 2 2 1

n n e n π - ∞ =∑ . 解:(1 记2 131i n n z n n ?? =++ ???

,则当n →∞时1Re(1n n z e n ?? =+→ ???

,那么n z 不趋近于0,所 以级数发散. (3 i 2 2 21

11n n n e n n π - ∞ ∞ ===∑ ∑

收敛,即级数 i 2 2 1 n n e n π- ∞ =∑

绝对收敛,所以收敛.

7、将下列各函数展成z 的幂级数,并指出它们的收敛半径. (1 3

11z +; (3 2cos z . 解:(1 336 33

11(111(n n z z z z z ∞ ===-=-+-+--∑ . 因为1(1lim 1(1 n n n ρ+→∞

-==-,所以收敛半径1R =. (3 22

021*******

cos 211(2cos (1122(2!21222(11(2!22!4!6!n n n n n n n z z z n z z z z n ∞=-∞ =??+==-+?? ??