《复变函数与积分变换（刘建亚）》作业答案(6)

-? .

21、证明:22u x y =-和22 y v x y =

+都是调和函数,但是i u v +不是解析函数. 证明:因为2u x x ?=?,222u x ?=?,2u y y ?=-?,222u y ?=-?, 2 22

2(v xy x x y ?-=?+,223222362(v x y y x x y ?-= ?+,22222(v x y y x y ?-= ?+,2322223 26(v y x y y x y ?-= ?+, 所以 222

20u u x y ??+=??,22220v v x y

??+=??,且x y u v ''≠,y x u v ''≠-. 即22u x y =-和22 y v x y =

+都是调和函数,但是i u v +不是解析函数. 22、由下列各已知调和函数求解析函数 (i f z u v =+,并写出z 的表达式: (1

22((4u x y x xy y =-++; (2 22 y v x y = +, (20f =; (3

2(1u x y =-,(2i f =-. 解:(1 因为

(i f z u v =+是调和函数,所以

22363v u x xy y x y ??=-=-++??,22363v u x xy y y x ??==+-??. 于是

22223(363(33v x xy y dy g x x y xy y =+-=++-?. 那么 222(63363v

g x xy y x xy y x ?'=++=-++?, 则 3(g x x C =-+, 所以

322333v x x y xy y C =-++-+, 322332233223

3((33i(33i (1i3(i 3(i (i i (1ii f z x x y xy y x x y xy y C x x y x y y C z C

=+--+-++-+??=-++++??=-+ (2 2 22

2(v xy x x y ?-=?+,222 22

(v x y y x y ?-=?+. 因为

(i f z u v =+是调和函数,所以 22222222222222

2(i 11(i i ((((i y x

x y xy x y f z v v x y x y x y x y z ---'''=+=+===++++, 从而1 (f z C z =-+. 由

(20f =知12C =,所以11 (2f z z =-. (3 因为

(i f z u v =+是调和函数,所以 2(1v u x x y ??=-=--??,2v u y y x ??==??. 于是 22(v ydy g x y ==+?. 那么 (2(1v g x x x ?'==--?, 则

2(2g x x x C =-++, 所以

222v x x y C =-+++, 222

2((22i(2i i (i 2(i 1i i(1i f z xy y x x y C x y x y C z C

=-+-+++??=-+-+++??=--+ 由(2i f =-知0C =,所以2(i(1f z z =--. 习题4: 1、下列数列

{}n z 是否收敛?若收敛,求其极限. (1

1i 1i n n z n +=-; (2 i 12n n z -?? =+ ? ?? ; (3 i (11