《复变函数与积分变换（刘建亚）》作业答案

《复变函数与积分变换》作业参考答案 习题1: 4、计算下列各式 (1 3i(3i(1+3i-; (3 2 3(3i- (5 13i 2 z += ,求2z ,3z ,4 z ; (7 6 1-。 解:(1

3i(3i(1+3i=3i(3+3i i+3=3i(2i+23=6+63i ---; (3 2

333(223i3(223i333 i 41288(3i223i (223i(223i ++====++---+; (5 213i 3i 3223i 13

i 4422 z ++--+= ==-+, 3213i 13i 13 1224

z z z -++--=?= ?==-, 4313 i 22 z z z =?=--. (7 因为1cos isin π π-=+,所以 6 221cos isin 6 6 k k ππ ππ ++-=+,

即

0k =时,031cos isin i 6 6 22 w π π =+=

+; 1k =时,133cos isin i 66

w ππ=+=; 2k =时,25531cos

isin i 6622w ππ=+=-+; 3k =时,37731cos isin i 6622w ππ=+=--; 4k =时,499cos isin i 66 w ππ=+=-; 5k =时,5111131cos isin i 6622 w ππ=+=-. 习题2:

3、下列函数在何处可导?何处解析?在可导点求出其导数. (2 2(i f z x y =-; (4 (sin ch icos sh f z x y x y =+

(6

(az b f z cz d += +。

解:(2 因为2(,u x y x = ,(,v x y y =-,

2x u x '=,0y u '=,0x v '=,1y v '=-.

这四个一阶偏导数都连续,故(,u x y 和(,v x y 处处可微,但柯西-黎曼方程仅在1 2 x =-

上成立,所以(f z 只在直线1 2x =-

上可导,此时1122

(21x x f z x =-=-'==-,但复平面上处处不解析. (4 因为(,sin ch u x y x y =,(,cos sh v x y x y =,

cos ch x u x y '=,sin sh y u x y '=,sin sh x v x y '=-,cos ch y v x y '=.

这四个一阶偏导数都连续,故(,u x y 和(,v x y 处处可微,且满足柯西-黎曼方程,所以(f z 在复平面

内解析,并且

((i i i i iz iz (i cos ch isin sh cos isin 22 cos isin cos isin 2222cos 22 y y y y

x x y y y y x x y x y x e e e e f z u v x y x y x x e e e e x x x x e e e e e e z -------+-+-'''=+=-=? -?=-++=?+?++===. (6 02 0((1(lim lim (lim

(((z z z f z z f z a z z b az b z z c z z d cz d ad bc ad bc cz c z d cz d cz d ?→?→?→?? +?-+?++=-????+?++?? --== +?+++ 所以, (f z 在除d z c