《复变函数与积分变换（刘建亚）》作业答案(11)

(1 111

Res[(,1]lim 1(lim (12

z z f z z f z z z →-→--=+==--. (3 记 ( 2 2 2 (1z f z z = +,则

(f z 有二级极点i ±.由规则Ⅱ, (3 i i 12i i

Res[(,i]lim i (lim (21!(i4z z d z f z z f z dz z →→= -==-????-+, (3i i 12i i Res[(,i]lim i (lim (21!(i4

z z d z f z z f z dz z →-→---= +==????--. (6 记 21(sin f z z z

=,则(f z 有本性奇点00z =.因为1 sin z 在00z =的去心邻域0z <<∞内 的洛朗级数为 2101(1sin (21! n n n z z n --∞=-=+∑ 于是有 (21 2

01(1sin 0(21!

n n n z z z z n -+∞=-=<<∞+∑ 其中1n

=的项的系数113!c -=-,所以 1Res[(,0]6 f z =-

6、利用留数定理计算下列积分. (1

22(1(1C

dz z z -+? ,C 为圆周22 2(x y x y +=+ 解:被积函数

(f z 在圆周C 的内部有一级极点0i z =和二级极点11z =,由留数的计算规则Ⅰ、Ⅱ得

(2 i i 11

Res[(,i]lim i (lim (1(i4

z z f z z f z z z →→=-==-+, (2 2211121Res[(,1]lim 1(lim (21!(i2 z z d z f z z f z dz z →→-??= -==-??-+.

于是由留数定理得积分值 {}22i

2i Res[(,i]Res[(,1](1(12C dz f z f z z z ππ=+=--+? (2

222 (1z

z e dz z =-? 解:被积函数

(f z 在2z =内有一个二级极点01z =,由留数的计算规则Ⅱ得 (2

22111Res[(,1]lim 1(lim 22(21!z z z d f z z f z e e dz →→??= -==? ?-

于是由留数定理得积分值 2222

2iRes[(,1]4i (1z z e dz f z e z ππ===-? (4 32

sin z z dz z = ?

解:被积函数 (f z 在3 2 z =

内有可去奇点00z =,则Res[(,0]0f z =,所以由留数定理知 32 sin 0z z dz z ==? (6 sin 2212 (1 z

z e dz z z = +? 解:被积函数 (f z 在1 2 z =

内有一个二级极点00z =,由留数的计算规则Ⅱ得 sin 2sin 222 001(1cos 2Res[(,0]lim (lim 1(21!(1z z z z d e z z ze f z z f z dz z →→+-??===??-+ 于是由留数定理得积分值 sin 22 1 2