自动控制原理电子教案(7)

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5/s?s?2?3?s2?s?5?s2?s?5Y(s)?2??2s?3s?2s(s?3s?2)s(s?1)(s?2)5/253/2 ???ss?1s?2y(t) = 5/2 ? 5 e? t + 3/2 e?2t

例2-14 图2-5所示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。

解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)。写出电路运动方程

RCduc(t)?uc(t)?ur(t)dt电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换

RCsUc(s)?RCuc(0)?Uc(s)?Ur(s)Uc(s)?1RCUr(s)?uc(0)RCs?1RCs?1当输入为阶跃电压ur (t) = u0 1(t)时， 得

uc(t)?u0(1?eRC?RC?1Uc(s)?u0????uc?0?RCs?1?sRCs?1??1tRC)?uc?0?e?1tRC 式中右端第一项是由输入电压ur (t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0)

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=0 时的响应，故称零状态响应；

第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur (t)=0时的响应，故称零输入响应。

根据线性系统的叠加原理，将初始电压uc(0)视为一个输入作用，则可在复数域内分别研究RC电路的零状态响应及零输入响应。若令uc(0) = 0，则有

当输入电压ur(t)给定时，其拉氏变换Ur(s)亦是确定的。于是，输出电压便完全由1/(RCs+1)所确定。这时，上式也可写成

Uc(s)1?Ur(s)RCs?1Uc(s)?1Ur(s)RCs?1上式表明，输出电压Uc(s)与输入电压Ur(s)之比，是s的一个有理分式函数，它只与电路的结构形式及其参数有关，故可以作为在复数域内描述RC电路输入----输出关系的数学模型，称为传递函数，记作G(s)。

G(s)?Uc(s)1?Ur(s)RCs?1Uc(s) = G(s) Ur(s)

2.4.2 传递函数的定义

定义：在线性（或线性化）定常系统中，初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。 设线性定常系统的微分方程式为

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dnc(t)dn?1c(t)dc(t) a0?a???a?anc(t)1n?1nn?1dtdtdtdmr(t)dm?1r(t)dr(t)?b0?b???b?bmr(t)1m?1dtmdtm?1dt式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。

在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得 (a0sn + a1sn?1 +? + an?1s + an )C(s)=

(b0sm + b1sm?1 +? + bm?1s + bm )R(s)

求出传递函数为

C(s)b0sm?b1sm?1???bm?1s?bmG(s)??R(s)a0sn?a1sn?1???an?1s?an传递函数的实际意义

零初始条件有两方面的含义：一是输入在t =0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t =0的值为零；二是系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t =0的值为零。

传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）