自动控制原理电子教案(5)

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解：遵照列写微分方程的一般步骤有：

1.确定输入量为F(t),输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。

2.设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。

3.按牛顿第二定律列写原始方程，即

d2y(t)?F?F(t)?Fk(t)?Ff(t)?mdt2 4.写中间变量与输出量的关系式

Fk(t)??ky(t)Ff(t)??fdy(t) dt5.将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得

d2y(t)dy(t)m??ky(t)?f?F(t)dt2dt6.整理方程得标准形

md2y(t)fdy(t)1??y(t)?F(t)2kdtkdtk令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为

d2y(t)dy(t)1T?T?y(t)?F(t)fdt2dtk2m2.2.3 电路系统举例

例2-2 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。

L-R-C网络 ur?L?di?i?R?uC dt i?C?uc

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?L?C?u?c??R?C?u?c?uc

???uc?? ? ucRL11uc?ur ── 2阶线性定常微分方程 LCLC2.2.4 实际物理系统线性微分方程的一般特征

观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：

式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 列写微分方程式时，一般按以下几点来写：

1.输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端；

2.左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件； 3.方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。

4.方程的系数均为实常数，是由物理系统自身参数决定的。 §2.3 非线性数学模型线性化 3.2.1 线性化意义和常用方法 ? 为什么要线性化？

1.实际对象总存在一定的非线性 2.线性系统具有较完整的理论 ? 线性化条件

1.实际工作情况在某平衡点附近(静态工作点) 2.变量变化是小范围的

3.函数值与各阶导数连续,至少在运行范围内如此。 满足上述条件，则工作点附近小范围内各变量关系近似线性 ? 线性化方法 1.泰勒级数展开 2.取线性部分

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dnc(t)dn?1c(t)dc(t) a0?a???a?anc(t)1n?1dtndtn?1dtdmr(t)dm?1r(t)dr(t)?b0?b???b?bmr(t)1m?1dtmdtm?1dt.

? 线性化定义：是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。 假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2= f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数 ：

当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 ：

dfK?其中 为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线x10dx1x2?f(x1)?f(x10)?1d2f?2!dx12x10dfdx1x10(x1?x10)(x1?x10)2?? x2?f(x10)?dfdx1x10(x1?x10)?x20?K(x1?x10) 代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。

例 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化 方程。

y(x)?E0cos[x(t)]解：在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数

y(x)?y(x0)?y?(x0)(x?x0)?1y??(x0)(x?x0)2??2!取一次近似，且令

?y(x)?y(x)?y(x0)??E0sinx0?(x?x0)既有 ?y??Esinx??x00.

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§ 2-4 线性系统的传递函数 一.复习拉氏变换及其性质 1.定义

X(s)??x(t)e?stdt0?记 X(s) = L[x(t)] 2.进行拉氏变换的条件

(1) t ? 0，x(t)=0；当t ? 0，x(t)是分段连续； (2) 当t充分大后满足不等式 ? x(t)? ? Mect,M,c是常数。 3.性质和定理 (1)线性性质

L[ ax1(t) + bx2(t)] = aX1(s) + bX2(s)

(2)微分定理

?dx(t)?L??sX(s)?x(0)?dt???d2x(t)?2?(0)L??sX(s)?sx(0)?x2??dt??(0)???0 ， 则： 若 x(0)?x

?dx(t)?L??sX(s)?dt???d2x(t)?2L??sX(s)2??dt?…

?dnx(t)?nL??sX(s)n?dt??(3)积分定律

L?x(t)dt???11X(s)?x(?1)(0)ss11(?1)1(?2)X(s)?x(0)?x(0)22sssL??x(t)dt???.

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若x?1(0)= x?2(0) = … = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，

L?x?t?dt???1X?s?s1X?s?2sL??x?t?dt?…

??

??1L?????x?t?dt??nX?s??????s?n?(4)终值定理

若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在jω轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：

(5)初值定理

limx(t)?limsX(s)t??s?0limsX(s)存在，则 如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且 s??

(6)延迟定理

x(0?)?limsX(s)s??L[ x(t ? ?)?1(t ? ?)] = e??sX(s)

L[e?at x(t)] = X(s + a)

(7)尺度变换

(8)卷积定理

tX1(s)?X2(s)?L??x1(t??)x2(?)d?????0???t??L?x????aX(as)??a??.