自动控制原理电子教案(6)

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4.举例

例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。 解：

X(s)?L?x(t)???e?stdt0?1?st?1 ??e? 0ss例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。

解：

X(s)?L?x(t)???te?stdt0?t ??e?sts?0???01?st1edt?2ss例2-5 求正弦函数x(t) = sinωt 的拉氏变换。 解：

ej?t?e?j?tsin?t?2jX?s????0ej?t?e?j?t?stedt2j??1?11???2j??s?j?s?j???s2??2例2-6 求函数x(t)的拉氏变换。

0?t?t0?A x(t)??t?0,t?t0?0 解： x(t) = x1(t) + x2(t)

=A?1(t) ? A?1(t ?t0 )

X(s)?AA?t0sA?e?(1?e?t0s)sss.

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例2-7 求e at 的拉氏变换。 解:

?

X(s)??eate?stdt?01(a?s)t?1e?0a?ss?aX(s)?L1(t)eat???1s?a例2-8 求e ?0.2 t 的拉氏变换。 解：

Le?t???1s?1?t5Le?0.2t?L?e??????5??5s?11例2-9 求x(0)， x(?)。 L?x(t)??s?a

解： x(0)?limsX(s)?lims??

二.复习拉氏反变换

s?0s?1s??s?as?0s?ax(?)?limsX(s)?lims?0 1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t)

1??j?x(t)?L?X(s)??X(s)estdt (t?0)?2?j??j??1 2.求拉氏反变换的方法

① 根据定义，用留数定理计算上式的积分值 ② 查表法 ③部分分式法

一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即

B(s)b0sm?b1sm?1???bm?1s?bmX(s)??nA(s)s?a1sn?1???an?1s?an.

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通常m < n，a1 , … , an； b0 , … , bm 均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有

b0sm?b1sm?1???bm?1s?bmX(s)?(s?s1)(s?s2)?(s?sn)式中s1 , … , sn是 A(s) = 0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨论： (1) A(s) = 0无重根。

nc1c2cnciX(s)??????(s?s1)(s?s2)(s?sn)i?1(s?si)式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。

?1ci?lim(s?si)X(s)s?si?nci?nsitx(t)?L[X(s)]?L???ce?i??i?1(s?si)?i?1?1(2) A(s) = 0有重根。设有r个重根s1 ，则

X(s)?B(s)(s?s1)r(s?sr?1)?(s?sn)ncrcr?1c1ci ??????(s?s1)r(s?s1)r?1(s?s1)i?r?1(s?si)1d(j)cr?j?lim(j)[(s?s1)rX(s)] j = 0,1, …, r-1 j!s?s1ds

ci?lim(s?si)X(s) i = r+1, …, n s?si

x(t)?L?1[X(s)]?c?c ??rtr?1?r?1tr?2???c2t?c1?es1t(r?2)!?(r?1)!? ?i?r?1sitce?in.

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3. 举例

s?2X(s)?2例2-10 ，求原函数x(t)。

s?4s?3

解： s2 + 4s + 3 = (s + 3)(s + 1)

s??1s??3X(s)?s?2cc?1?2(s?3)(s?1)s?3s?1c1?lim(s?3)X(s)?lims?21?s??3s?12c2?lim(s?1)X(s)?lim1?x(t)?(e?3t?e?t)2s?21?s??1s?32s?3例2-11 求 的原函数x(t)。 X(s)?2s?2s?2

解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 ? j)

c1?lim?s?1?j?X(s)?s??1?jX(s)?s?3c1c2???s?1?j??s?1?j?s?1?js?1?j?4?j?2j?4?j2jc2?lim?s?1?j?X(s)?s??1?j.

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s?2X(s)?例2-12 求 的原函数x(t)。

s(s?1)2(s?3)

x(t)?L?1?X(s)??4?j??1?j?t?4?j??1?j?te?e2j2j ?e?t?cost?4sint?

X(s)?c2c1c3c4???(s?1)2s?1ss?3c4?lim?s?3?X(s)?s??3112c3?limsX(s)?s?022312c2?lim?s?1?X(s)??s??1c1?limd32?s?1?X(s)??s??1ds4??1221?x(t)??e?t(t?)??e?3t233122.4.1. 线性常系数微分方程的求解

用拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1.对微分方程两边进行拉氏变换。

2.求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。 3.求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。

dy2(t)dy(t)?3?2y(t)?5?1(t)例2-13 求解方程： dt2dt初始条件：y(0)= ?1, y?(0) =2

解：两边取拉氏变换

s2Y(s) ? sy(0) ? y?(0) + 3sY(s) ? 3y(0) +2Y(s)=5/s .