2019年2016年湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田中考数学试(5)

23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y=

的顶点为M，与y轴相交

于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2：直线l：y=kx+b经过M，N两点．

（1）结合图象，直接写出不等式x2+6x+2＜kx+b的解集；

（2）若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；

（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与（2）中的抛物线C2存在公共点，求3﹣4q的最大值．

【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）令抛物线C1的解析式中x=0，求出y值即可得出点N的坐标，再利用配方法将抛物线C1的解析式配方，即可得出顶点M的坐标，结合函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集；

（2）找出点M关于x轴对称的对称点的坐标，找出点M关于原点对称的对称点的坐标，二者横坐标做差即可得出p的值，根据抛物线的开口大小没变，开口方向改变，再结合平移后的抛物线的顶点坐标即可得出抛物线C2的解析式；

（3）由点M、N的坐标利用待定系数法即可求出直线l的解析式，根据直线l沿y轴向下平移q个单位长度后与抛物线C2存在公共点，即可得出方程﹣x2+6x﹣2=3x+2﹣q有实数

根，利用根的判别式△≥0，即可求出q的取值范围，再根据一次函数的性质即可得出当q=时，3﹣4q取最大值，代入数据求出最值即可． 【解答】解：（1）令y=∴N（0，2）； ∵y=

+6x+2=（x+2）2﹣4，

+6x+2中x=0，则y=2，

∴M（﹣2，﹣4）．

观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0时，抛物线C1在直线l的下方， ∴不等式x2+6x+2＜kx+b的解集为﹣2＜x＜0． （2）∵抛物线C1：y=

的顶点为M（﹣2，﹣4），

沿x轴翻折后的对称点坐标为（﹣2，4）．

∵抛物线C2的顶点与点M关于原点对称， ∴抛物线C2的顶点坐标为（2，4）， ∴p=2﹣（﹣2）=4．

∵抛物线C2与C1开口大小相同，开口方向相反，

∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣2）2+4=﹣x2+6x﹣2． （3）将M（﹣2，﹣4）、N（0，2）代入y=kx+b中， 得：

，解得：

，

∴直线l的解析式为y=3x+2．

∵若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后与抛物线C2存在公共点， ∴方程﹣x2+6x﹣2=3x+2﹣q有实数根，即3x2﹣6x+8﹣2q有实数根， ∴△=（﹣6）2﹣4×3×（8﹣2q）≥0，解得：q≥． ∵﹣4＜0，

∴当q=时，3﹣4q取最大值，最大值为﹣7．

24．如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点．

（1）请直接写出∠COD的度数； （2）求AC?BD的值； （3）如图②，连接OP并延长交AM于点Q，连接DQ，试判断△PQD能否与△ACO相似？若能相似，请求AC：BD的值；若不能相似，请说明理由．

【考点】圆的综合题． 【分析】（1）结论：∠COD=90°，只要证明∠OCD+∠ODC=90°即可解决问题． （2）由RT△AOC∽RT△BDO，得

=

，由此即可解决问题．

（3）分两种情形①如图②中，当△PQD∽△ACO时，②如图②中，当△PQD∽△AOC时，分别计算即可． 【解答】解：（1）∠COD=90°．

理由：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线， ∴AM⊥AB，BN⊥AB， ∴AM∥BN，

∵CA、CP是切线，

∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB， ∵∠ACD+∠BDC=180°， ∴2∠OCD+2∠ODC=180°， ∴∠OCD+∠ODC=90°， ∴∠COD=90°．

（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线， ∴∠A=∠B=90°，

∴∠ACO+∠AOC=90°， ∵∠COD=90°，

∴∠BOD+∠AOC=90°， ∴∠ACO=∠BOD，

∴RT△AOC∽RT△BDO， ∴

=

，

即AC?BD=AO?BO， ∵AB=6， ∴AO=BO=3， ∴AC?BD=9．