高中数学经典易错题会诊与试题预测02(7)

C.恒小于0 D．可正可负 答案：C 解析：不妨设x1

3 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=()，那么f(x)=()，那么f(0)+f(-8)

221x

1x-1-1

的值为 ( )

A．2 B．-3 C．3 D．-2

?1x(x?0)?()2??,故f解析：f(x)=?0(x?0)?x(x?0)??2??答案：C

?1(0)?0

f-1(-8)=3.故选 C.

4. B 解析：①?x?的值域为[0，1]；②③正确；④错误

4 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-1．08]=-2，定义函数{x}=x-[x]，那么下列命题

中正确的个数是 ( )

①函数{x}的定义域为R，值域为[0，1]； ②方程{x}=有无数解； ③函数{x}是周期函数； ④函数{x}是增函数．

A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C解析：∵f(x)的周期为3，∴f(2)=f(-1)=-f(1)<-1.即

2a?3a?1??1.解得?1

325 设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1,f(2)=A．a< B．a＜且a≠-1

33222a?3a?1，则 ( )

C.-1或m<-1

3322答案：D 解析：因为函数y=f(x)为偶函数，所以y=f(1-x)=f(x-1),它的图可由y=f(x)的图向右平移1个单位得到，故对称轴为x=1,且在（4，6）内是增函数，故选D。

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6 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个单调递增区间是(3，5)，则函数y=f(1-x) ( ) A.图像的对称轴为x=-1，且在(2，4)内是增函数 B．图像的对称轴为x=1，且在(2，4)内是减函数 C.图像的对称轴为x=0，且在(4，6)内是增函数

D．图像的对称轴为x=1，且在(4，6)内是增函数 答案：解析：[-1，3]由x2-2x-8≥0?x≤-2或x≥4.由1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-111?|x?a|7 函数f(x)=

x2?2x?8的定义域为A，g(x)=的定义域为B，且A∩B=? ，则实数a的取值

范围是_________

答案：解析：[-1，3]由x2-2x-8≥0?x≤-2或x≥4.由1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-1

的反函数，则函数g(x)=f(x)+f(x)的表达式是

-1

8 已知y=f(x)是函数f(x)=g(x)=________ ２．答案：解析：?f?1?x?1,?1?x?0.???x,0?x?1.?1?,?1,0?x?1,?1?x?1.

?x?1,(x)????x,?10?x?1,?1?x?0.

2

故

f(x)?f??1,(x)???1,0?x?1,?1?x?1.9 已知函数f(x)在定义域上是减函数，且f(a-1)>f(1-a)．求a的取值范围；

??1?a?1?1?2答案：解析：由牺件可得???1?a?1?1,?2??a?1?1?a.解得0?a?1.

10 若f(x)满足：在(0，+∞)上f(xy)=f(x)+f(y)，且对x＞1，f(x)>0恒成立，求证：f(x)存在反函

数f(x)并比较f

-1

-1

a?b2与 [f(a)+f(b)]的大小．

21-1-1

答案：解析：∵f(x,y)=f(x)+f(x) ∴f(x)=f(设0

x2xc1?1,有f(x2)?f(x1?f(x2x1xy?y)?f(xy)?f(y).?f(xy)?f(x)?f(y).

)?0

∴f(x1)

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∴f-1(u+v)=f-1(u) ?f1-(v), ∴f-1(x)=[f-1(2)]2∴

12[f?1x(a)?fa?b2?1(b)]?121??f2??1(a2)]?[f2?1b2?()]??f2??1(a2)?f?1b()?f2?1(a2?b2)?f?1(a?b2).

故

f?1()?[f?1(a)?f?1(b)].

11 已知集合A=[2，log2t]，集合B={x|x2-14x+24≤0}，x1t∈R，且A?B．

(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b-a． 若A的区间“长度”为3，试求t的值． (2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0．6，试确定t的取值范围． 12集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的，对任的x≥0,f(x)∈[-2，4]，有f(x)在[0，+∞]上是增函数． (1)试判断f1(x)=-2及f2(x)=4-6·()(x≥0)是否在集合A中?若不在集合A中，试说明理由； 答案：解析：（1）log2t-2=3?t=32;

(2) 对于(1)中你认为是集合A中的函数f(x)不等式f(x)+f(x+2)＜2f(x+1)是否对于任意的x≥D总成

立?证明你的结论． 答案：B=[2,12],由题意及概率的意义得

log2t?212?2?0.6?8?log2t?12?2?t?2.812即t∈[256,4096].

12 集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的，对任意的x≥0，f(x)∈[-2，4]，有f(x)在[0，+8]上

地增函数。 （1） 试判断f1(x)=

由；

答案：解析：（1）函数f1(x)=f2(x)=4-6(12)xx-2及f2(x)=4-6·（）（x≥0）是否在集合A中？若不在集合A中，试说明理

21x

x?2不在集合A中，这是因为当x=49>0,f1(49)=5>4,不满足条件

在集合A中。

（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意的x≥D总成

立？证明你的结论？ 答案：∵

f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=4-6

1x1x?21x?11x1121x1()?4?6?()?8?12()?6?()[2??1?()]?6()(?)?0.?f(x)?f(x?2)?2f(x?1)22222224对于任意x

≥0总成立.

x2?ax?x1213 已知函数f(x)=(x＞0)．

(1)写出函数f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间内，函数是递增的还是递减的．(不必证明) 答案：f(x)=x?12x?a在(0,22]上递减,在[22,??)上递增.

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(2)若不等式f(x)＞0对于x∈(0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围； 答案：f(x)>0即a>-(x?由（1）的结论知当x?2212x)恒成立，∴a>

12x[?(x?12x)]max,

时[?(x?-1

)]max??2故a??2.

-1

(3)若f(x)(x≥1)的反函数f(x)，试求f(a+).

49答案：根据反函数的意义，令x?3

12x?a?a?94,得4x?9x?2?0,解得x?214(舍去).或x?2.?f?1(a?94)?2.

14 已知函数f(x)=x+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f(0)=f(1)，又P(x1，y1)，q(x2，y2)是其图像上任意两点(x1≠x2)．

(1)求证：f(x)的图像关于点(0，b)成中心对称图形；

答案：∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b,得a=-1. ∴f(x)=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上（或向下）

平移b（或-b ）个单位得到.又y=x3-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，∴f(x) 的图象关于点（0，b）成中心对称图形。 (2)设直线PQ的斜率为k，求证：|k|＜2．

答案：∵点P（x1,y1）,Q(x2y2)在f(x)=x3-x+b的图象上， ∴k=

y1?y2x1?x2?(x1?x1?b)?(x2?x2?b)x1?x22233?x1?x2?x1x2?1.

22又x1x2?[?1,1]x1?x2,?0?x1?x2?x1x2?3,从而?1?x1?x2?x1x2?1?2,?|k|?|x1?x2?x1x2?1|?2.2222

(3)若0≤x1

答案：∵0≤x1

①+②得2|y1-y2|<2.故|y1-y2|<1.

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