高中数学经典易错题会诊与试题预测02(6)

-t)=2t-2，∴△ABC的面积S=(2t-2)(a-t)=-t+(a+1)t-a=-(t-212

a?12)+

2

(a?1)42-a．

∴当<

23a?12≤2即2

a2?2a?14．

当

a?12>2，即a>3时，函数S在[1，2]上单调递增，∴S有最大值S(2)=a-2．

预测角度3 反函数与函数性质的综合

1．在R上的递减函数f(x)满足：当且仅当x∈M?R+函数值f(x)的集合为[0，2]且f()=1；又对M

21中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)． (1)求证：∈M，而

4118?M；

-1

-1

-1

-1

(2)证明:f(x)在M上的反函数f(x)满足f(x1)·f(x2)=f(x1+x2)． (3)解不等式f(x2+x)·f(x+2)≤(x∈[0，2])．

4-1

-1

1 [解题思路] 由给定的函数性质，证明自变量x是属于还是不属于集合\，最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式．

[解答] (1)证明：∵∈M，又=×,f()=1．∴f()=f(×)=f()+f()=1+1=2∈[0，

242224222211111111112]， ∴∈M，

41 又∵f()=f(×)=f()+f()=1+2=3?[0，2]．∴

824241111118-1

?M.

(2)证明：∵f(x)在M上递减，∴f(x)在M上有反函数f(x)，x∈[0，2]．

-1-1

任取x1、x2∈[0，2]，设y1=f(x1)，y2=f(x2)． ∴x1=f(y1)，x2=f(y2)(y1，y2∈M)

-1

∵x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1·y2)，∴y1·y2=f(x1+x2)

-1-1-1-1-1

又y1·y2=f(x1)·f(x2)，∴f(x1)·f(x2)=f(x1+x2)．

-1

(3)∵f(x)在M上递减，∴f(x)在[0，2]上也递减， ∴f(x2+x)·f(x+2)≤等价于f(x+x+x+2)≤f(2)．

4-1

-1

1-12-1

?0?x2?x?2,?∴???0?x?2?2,?2??x?2x?2?2.??2?x??1或0?x?1??x?0??2?x?0??x??2或0?x?2.

故不等式的解集为{x|x=0}.

x

2．已知奇函数f(x)，偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a(a＞0且a≠1). (1) 求证:f(2x)=2f(x)·g(x) (2) 设f(x)的反函数为f(x)，当a=

-1

a-1时，试比较f[g(x)]与-1的大小，并证明你的结论．

-1

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(3) 若a>1，n∈N且n≥2，比较f(n)与nf(1)的大小，并证明你的结论.

x

[解题思路] 先根据函数f(x)·g(x)的奇偶性和f(x)+g(x)=a可解出f(x)·g(x)．再借助基本不等式和叠加法证明后两小题.

x

[解答] (1)f(x)+g(x)=a，

-xx

又f(-x)+g(-x)=a，而f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴-f(x)+g(x)=a,

∴f(x)=

ax*

?a2?x,g(x)=

axax?a2?x．

?x ∴f(x)·g(x)= (2)∵0

f(-1)=

ax?a2?x·

ax?a2=

a2x?a4?2x=f(2x)

212-1<1．

?x?a2是(-∞，+∞)上的减函数，则其反函数也是减函数，又由于

?(2?1)(2?1)?12ax=1．

∵g(x)=≥=1=f(-1)

22

-1

∴f[g(x)]≤-1． (3)f(n)-nf(1)=

12-1

?a?x212n-1

(a-a)-

n-3

-(n-3)

n-n

12-(n-1)

n(a-a)=-n]

-1

12 (a-a)[a+a+

-1n-1n-3

?+a

-(n-3)

+a

-(n-1)

]-

n(a-a)=(a-a)[a+a+?+a

2-1

1-1

+a

当a>1时，a-a>0 n-1-(n-1)a+a＞2 n-3-n(n-3)a+a＞2 ?? n-1n-3-(n-1)-(n-3)∴a+a+?+a+a＞0

∴f(n)-nf(1)＞0,即f(n) ＞nf(1) 考点高分解题综合训练 1 函数f(x)=x+

x2?1,则其反函数的定义域是 ( )

A．(-∞，-1)∪[1，+∞) B．[1，+∞) C．[-1，0]

D．[-1，0]∪(1，+∞)

答案：D 解析：反函数的定义域即为原函数的值域，x2-1≥0?x≥1或x≤-1,当x≥1时，函数f(x)是单调递增函数，此时值域为（1，+∞）当x≤-1时，f(x)=x+时值域为[-1，0]，故值域为[-1，0]∪(1,+ ∞), 从而选D.

x?1?x?21x?12为单调递减函数，此

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2 已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4)．当x＞2时，f(x)单调递增，如果x1+x2 …… 此处隐藏：154字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……