高中数学经典易错题会诊与试题预测02(5)

?a?x?0?2?a?1?x?2a?x2?1＞a-x，这一步，因为x+

x2?1＞a-x应等价于

或a≤x.错解中只有前面—个不等式组．答案显然错了.

2 [对症下药] A 解法1 ∵y=

12(a-a)

x-x

?a-2y·a-1=0，a=

2xxx

2y?22y?1=y+

y2?1∴

第12页

x=loga(y+

y2?1)．∴f(x)=loga(x+

2-1

x2?1)(x∈R)．∵f(x)>1

22?a?1?a?x?0或a?x?0??1＞a-x??222a??x?1?(a?x)-1

∴loga(x+

3?1)>1?x+

x2?1>a?x＜x＜+∞.

解法2：利用原函数与反函数的定丈域、值域的关系．原题等价于x>1时，f(x)=(a-a)的值域，∴

21x-x

f(x)=(a-a)在R上单调递增．∴f(x)＞(a-221x-x

11a)=

a2?12a．选A.

-1

-1

4.(典型例题)设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数f(x)，f(4)=0，f(4)=________．

-1

[考场错解] 填0 ∵y=f(x)的图像关于点(1，2)对称，又∵f(4)=0，∴f(0)=4，∴f(4)=0

[专家把脉] 上面解答错在由图像过点(4，0)得到图像过点(4，0)上，因为f(x)图像关于点(1，2)对称不是关于y=x对称，因此应找出图像过点(-2，4)是关键． [对症下药] 填-2．

解法1 ∵f(4)=0，∴f(x)的图像过点(4，0)．又∵f(x)的图像关于点(1，2)对称，∴f(x)的图像过

-1

点 (2-4，4-0)即(-2，4)．∴f(-2)=4．∴f(4)=-2．

解法2 设y=f(x)上任一点P(x、y)关于点(1，2)对称的点为P′(2-x，4-y)．依题意4-y=f(2-x)，

-1

∴4-f(x)=f(2-x)? f(x)+f(2-x)=4．令x=4．∴f(4) +f(-2)=4.又f(4)=0，∴f(-2)=4．∴f(4)=-2．

专家会诊

-1

1.求反函数时必须注意：(1)由原解析式解出x=f(y)，如求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只能取一个；(2)要求反函数的定义域，即原函数的值域． 2．分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成．

-1

3．若点(a，b)在原函数y=f(x)的图像上，则(b，a)在反函数y=f(x)的图像上．

考场思维训练

2

1 函数y=3x-1(-1≤x＜0)的反函数是 ( ) A．y= B．y=- C．y=

D.y=-1?log3x(x≥)

311?log3x (x≥)

3111?log3x (

31?log3x (

31答案：D 解析：由y=3x2-1得 x2-1=log3y ∵-1≤x<0, ∴x=-??1?x?0,??1?x?1?0,?2log3x?1,xy互换得y??log3x?1,13?x?1)选D.

13?3x?1?1.故原函数的反函数为2:y??1?log3x(2 (典型例题)定义在R上的函数y=f(x)为周期函数，最小正周期为T，若函数y=f(x)，x∈(0,T)时E

-1

有反函数y=f,x∈D．则函数y=f(x)，x∈(2T,3T)的反函数为 ( )

-1

A.y=f(x)，x∈D

-1

B．y=f(x-2T),x∈D

第13页

C.y=f(x+2T)，x∈D

-1

D.y=f(x)+2T．x∈D

答案：D 解析：∵x∈(2T,3T), ∴x-2T=(0,T).又∵f(x)的周期为2T，y=f(x)=f(x-2T). ∴x-2T=f-1(y)+2T,x,y互换，得

y=f-1(x)+2T.当x∈(2T,3T)的反函数为y=f-1(x)+2T,x∈D.

3 已知f(x)=

a?xx?a?1-1

的反函数．f(x)的图像的对称中心是(-1，3)，求实数a的值．

1-1

答案：解析：∵f(x)=-1-从而a=2.

x?(a?1)的对称中心是（a+1,-1）∴f-1(x)的对称中心是（-1,a+1）, ∴a+1=3,

探究开放题预测

预测角度1 借助函数单调性求函数最值或证明不等式

1．已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)． (1)求f(0)的值；

(2)求函数f(x)的最大值．

[解题思路] (1)令x1=x2=0可得答案(2)，先证f(x)在[0，1]上是单调函数，再求其最大值． [解答] (1)令x1=x2=0，由条件①得f(0)≥0，由条件③得f(0)≤0．故f(0)=0．

(2)任取0≤x1≤x2≤1，可知x2-x1∈(0，1)，则f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x)．又∵x1- x2∈(0，1)，∴f(x2-x1)≥0．∴f(x)≥f(x1) ∴f(x)在[0，1]上是增函数，于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1．∴当x=1时，[f(x)]max=1．即f(x)的最大值为1．

2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，k是正常数，且对任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx成立．

(1) 若f(x)是(0，+∞)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x． (2)对于任意的x1、x2∈(0，+∞)，当x2>x1时，有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立，如果k=2，证明：＜

34f(x)x＜．

23 [解题思路] (1)用反证法证明；(2)用反证法先证f(x)＞x，再运用函数单调性进行放缩． [解答] (1)假设f(x)＞x

∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(f(x)]=x. ∴f(x)＞f[f(x)]．

∴x＞f(x)这与假设矛盾．∴f(x)＞x不可能成立 同理可证f(x)＜x也是不可能成立的． 综合，得f(x)=x.

(2)先证f(x)＞x，假设存在x0∈(0，+∞)，使得f(x0)≤x0，若f(x0)=x0，则f[f(x0)]=f(x0)．即2x0= f(x0)=x0，∴x0矛盾；若f(x0)＜x0，由条件可知f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(x0)＞0．

第14页

∴f[f(x0)]

∴2x0x

因此,f{f[f(x)]}-f[f(x)]＞f[f(x)]-f(x)＞f(x)-x． 即2f(x)-2x>2x-f(x)>f(x)-x

解得＜

34f(x)x＜．

23预测角度2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题

1．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，

3

g(x)=2a(x-2)-4(x-2)， (1)求f(x)的表达式；

(2)是否存在正实数a(a＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由．

[解题思路] (1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用导数可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正实数a．

[解答] (1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]

33

f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)=4x-2ax

3

得f(x)=4x-2ax(x∈[-1，0]) ∵y=f(x)在[-1，1]上是偶函数

3

∴当x∈[0，1]时，f(x)=f(-x)=-4x+2ax

3??4x?2ax∴f(x)=?3???4x?2ax?1?x?0,0?x?1.

(2)命题条件等价于[f(x)]max=12，因为f(x)为偶函数，所以只需考虑0≤x≤1的情况．

2

求导f′(x)=-12x+2a(0≤x≤1，a>6)， 由f′(x)=0得x= ∵

a6a6或x=-

a6(舍)．

＞1，当0≤x≤1时 f′(x)>0，f(x)在[0，1]上单调递增，

∴[f(x)]max=f(1)=12，∴a=8．

综上，存在a=8使得f(x)的图像的最高点在直线y=12上．

2．函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时,f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区 …… 此处隐藏：2183字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……