高中数学经典易错题会诊与试题预测02(4)

又当x ∈[2,4]时，x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数。

∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 因而求得 x∈[2,4] 时f(x)=x2-6x+8.

(3) 计算:(0+)f(1)+f(2)+?+f(2004)

答案：f(0)=0f(2)=0f(1)=1f(3)=-1,又f(x)是周期为4的周期函数。

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0. 又f(2004)=f(0)=0, ∴f(0)+f(1)+f(2)+ …+f(2004)=0.

4 设a、b∈R，且a≠2定义在区间(-b，b)内的函数f(x)=lg

1?ax1?2x1?ax1?2x是奇函数，求b的取值范围．

①

②

答案：解析：f(x)=lg

(?b?x?b)是奇函数，等价于，对任意

?f(?x)??f(x)x∈(-b,b)都有：??1?2ax?0??1?2x

① 式即为lg

代入(2)得即?121?ax1?2x1?2x1?2x?lg1?2x1?ax.即

a2x2=4x2.此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于a2=4, ∵a≠2, ∴a=-2.

?0

x?(?b,b)都成立相当于?12??b?b?12所以得b的取值范围为(0,12].?x?12.此式对任意

命题角度4 反函数的概念和性质的应用

2

1．(典型例题)函数f(x)=x-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是 ( ) A．a∈(-∞，1) B．a∈[2，+∞] C．a∈[1，2]

D．a∈(-∞，1)∪[2，+∞]

[考场错解] 选A或B ∵a∈(-∞，1]∴f(x)在区间[1，2]上是增函数．∴f(x)存在反函数．当a∈[2，+∞)．对称轴x=a在区间[1，2]的右侧，∴f(x)在 [1，2]上是减函数．∴f(x)存在反函数． [专家把脉] 上面解答只能说明A或B是f(x)存在反函数的充分条件，并不是充要条件．

[对症下药] ∵一个函数在某区间上存在反函数的充要条件是此函数在这个区间上是单调函数．

∴对称轴x=a不应在(1，2)内，∴a≤1或a≥2．故选C.

2．(典型例题Ⅰ)y=

2x?x2(1≤x≤2)的反函数是 ( )

第11页

A.y=1+

B.y=1+ C.y=1- D.y=1-

1?x2(-1≤x≤1) (0≤x≤1) (-1≤x≤1) (0≤x≤1)

2

2

2

2

1?x21?x21?x2 [考场错解] C ∵y=2x-x．∴(x-1)=1-y．∴x-1=-又1-x≥0．∴-1≤x≤1．因而f(x)的反函数为y=1-2

1?y2，∴x=1-

1?y2．x、y对换得y=1-

1?x2

1?x2(-1≤x≤1)．

2

2

[专家把脉] 上面解答有两处错误(一)∵1≤x≤2,∴x-1≥0．由(x-1)=1-y开方取“正号”而不是取“负号”；(二)反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到，而不是由反函数解析式确定． [对症下药] B 由y=x-1=

1?y22x?x2?(x-1)=1-y．∴x∈[1，2]x-1∈[0，+∞]．∴

222

?=1+

1?y2．x、y对换得y=1+

1?x 又∵y=

2x?x2??(x?1)2?1(1≤x≤2)．∴0≤y≤1

即原函数值域为[0，1]．所以反函数为y=1--1

1?xx

2 (0≤x≤1).选B.

-1

3．(典型例题)设f(x)是函数f(x)=(a-a)(a＞1)的反函数，则使f(x)＞1成立的x的取值范围

21-x

为 ( ) A．( C．(

a2?12aa2，+∞) B．(-∞，

a2?12a)

?12a,a) D．(a，+∞)

12-1

[考场错解] C ∵y= x=loga(y+

y2 (a-a)，∴a-2y·a-1=0．a=

x2x-x2xxx

2y?22y2?1=y+

x2y2?1．∴

?1)，x、y对换．∴f(x)=loga(x+

2?1)(x∈R)又∵f(x)＞1，∴loga(x+

-1

?1)＞1?x

+

x2?1＞a.

x?x?a?2?1＞a-x??a?1?x?2a?∴

a2?12a