高中数学经典易错题会诊与试题预测02

高中数学经典易错题会诊与试题预测(二)

考点-2 函数 (1) 函数的定义域和值域 函数单调性的应用

函数的奇偶性和周期性的应用 反函数的概念和性质的应用

借助函数单调性求函数最值或证明不等式

综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 反函数与函数性质的综合 经典易错题会诊

命题角度1 函数的定义域和值域

?f(x)?g(x)?h(x)=??f(x)?g(x)??当x?Df且x?Dg当x?Df且x?Dg当x?Df且x?Dg1．(典型例题)对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数

(1)若函数f(x)=

1x?1,g(x)=x，写出函数h(x)的解析式;

2

(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．

[考场错解] (1)∵f(x)的定义域Df为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域Dg为R.∴

?x2??x?1?1h(x)=??x?1?1??x?(??,1)?(1,??)(x?1)(x?1)

(2)当x≠1时，h(x)=

x2x?1=x-1+

1x?1+2≥4．或h(x)=

1x?1∈(-∞，0)∪(0，+∞)． ∴h(x)的值域

为(4，+∞)，当x=1时，h(x)=1．综合，得h(x)的值域为{1}∪[4，+∞]．

[专家把脉] 以上解答有两处错误：一是当x∈Df但x?Dg时，应是空集而不是x≠1．二是求h(x)的值域时，由x≠1求h(x)=x-1+

1x?1+2的值域应分x>1和x<1两种情况的讨论．

[对症下药] (1)∵f(x)的定义域Df=(-∞，1)∪(1，+∞)·g(x)的定义域是Dg=(-∞，+∞)．所以，

?x2,h(x)=??x?1?1,?x?(??,1)?(1,??).x?1.x2

2 (2)当x≠1时，h(x)=

x?1=

x?1?1x?1(x?1)=x-1+

1x?11x?1+2．

若x>1，则x-1>0，∴h(x)≥2+2=4．

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当且仅当x=2时等号成立．

若x＜1，则x-1<0．∴h(x)=-[-(x-1)-1

x?1]+2≤-2+2=0．当且仅当x=0时等号成立．

当x=1时，h(x)=1．

综上，得h(x)的值域为(-∞，0)∪{1}∪[4，+∞]．

2．(典型例题)记函数f(x)=

2?x?3x?1的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.

(1)求A；

(2)若B?A，求实数a的取值范围． [考场错解] (1)由2-x?3x?3≥0，得

x?1x?1≥0，∴x<-1或x≥1，即A=(-∞，-1)∪[1，+∞]．

(2)由(x-a-1)(2a-x)＞0得(x-a-1)(x-2a)<0当a=1时，B=? ．∴B?A．

当a<1时，a+1>2a，∴B=(2a，a+1),

∵B?A，∴2a≥1或a+1≤-1．即a≥或a≤-2而a≤1，∴≤a≤1或a≤-2．

2211 故当B?A时，实数a的取值范围是(-∞，-2)∪[，1].

21 [专家把脉] 由函数的概念知函数的定义域为非空集合，所以错解中a=1时B= ?，说明函数不存在，因此 a=1不适合．

[对症下药] (1)由2-x?3x?3≥0，得

x?1x?1≥0，

∴x<-1或x≥1．即A=(-∞，-1)∪[1，+∞]． (2)由(x-a-1)(2a-x)＞0，得(x-a-1)(x-2a)<0， 当a=1时，B= ?，∵定义域为非空集合，∴a≠1．当 a<1时，a+1>2a，∴B=(2a，a+1)，∵B?A，∴2a≥1或a+1≤-1，即a≥或a

21≤-2．而a<1，∴≤a≤1或a≤-2，

21

故当B?A时，实数a的取值范围是(-∞，-2)∪[，1]．

213．(典型例题)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)=(1) 集合M，N；

(2) 集合M∩N．M∪N.

[考场错解] (1)由2x-3＞0解得x＞．∴M={x|x＞}．由1-22332x?11?2?1的定义域为集合N．求

≥0 得x-1≤x-3∴-1≤-3．∴N=

?．

(2)∴M∩N=?．M∪N={x|x>}．

23

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[专家把脉] 求集合N时解不等式1-质，应先移项化为然是错误的．

f(x)g(x)2x?1≥0两边同乘以(x-1)不等号不改变方向，不符合不等式性

≥0的形式再转化为有理不等式，求解，另外定义域不可能为非空集合．∴N=?显

[对症下药] (1)由2x-3＞0，得x＞．∴M={x|x＞}．由1-22332x?1≥0得

x?3?(x?3)(x?1)?0?0??x?1?x?1

∴x≥3或x<1．∴N={x|x≥3或x<1}．

(2)∴M∩N={x|x>}∩{x|x≥3或x>1}={x|x≥3}．M∪N={x|x>}∪{x|x≥3或x>1}={x|x>或x<1}．

2223334．(典型例题)若集合M={y|y=2}，P={y|y= A．{y|y＞1} B．{y|y≥1}

C.{y|y>0} D．{y|y≥0} [考场错解] 选A或B

-x

x?1}，则M∩P等于 ( )

[专家把脉] 错误地认为是求函数y=2和y=

-x

x?1的定义域的交集．实际上是求两函数的值域的交

集．

-x

[对症下药] ∵集合中的代表元素为y，∴两集合表示两函数的值域，又∴M={y|y=2}={y|y>0}，P={y|y=

x?1}={y|y≥0}．∴M∩P={y|y＞0}，故选C．

专家会诊

1. 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进

行讨论，特别注意定义域不能

为空集。2．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．

考场思维训练

x

1 若函数y=lg(4-a·2)的定义域为R，则实数a的取值范围是 ( )

A．(0，+∞) B．(0，2) C．(-∞，2) D．(-∞，0) 答案：D 解析：∵4-a?2x?0的解集为R?a?42x在R上恒成立.42x?0,?a?0.

2 已知函数f(x)的值域是[-2，3]，则函数f(x-2)的值域为 ( ) A．[-4，1] B．[0,5]

C．[-4，1]∪[0，5] D．[-2，3]

答案：D 解析：f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2个单位.因此f(x-2)的值域不变.

2

3 已知函数f(x)=lg(x-2mx+m+2)

(1)若该函数的定义域为R，试求实数m的取值范围．

2

答案：解析：(1)由题设，得不等式x-2mx+m+2>0对一切实数x恒成立，

2

∴△=（-2m）-4(m+2)<0,解得-1

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(2)若该函数的值域为R，试求实数m的取值范围．

2

答案：由题设，得不等式△=（-2m）-4(m+2) ≥0解得m≤1或m≥2.

4 已知函数f(x)=log3mx答案：解析：∵f(x)=log3u=

mx22?8x?n2的定义域为R，值域为[0，2]，求实数m，n的值． 的值域是[0，2]. ∴u=g(x)=

2xmx?1?8x?n22mx2?8x?n2的值域为[1，9].由当u-m=0时上式仍成

x?1x?1?0时,??(?8)?4(u?m)(u?n)?0.?8x?n22

得（u-m）x-8x+(u-n)=0. ∵x?R,当u?m2

x?1立，即有u-(m+n)u+(mn-16) ≤0.

∴关于u的方程u-(m+n)u+mn-16=0有两根1和9，由韦达定理得?2

?m?n?1?9?mn?16?1?9解得m=n=5.即为所求。

命题角度2 函数单调性的应用

2x

1．(典型例题Ⅱ)已知a≥0，且函数f(x)=(x-2ax)e在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．

x2xx2

[考场错解] ∵f′(x)=e(x-2ax)+e(2x-2a)=e[x+2(1-a)x-2a] 又∵f(x)在[-1，1]上是单调函数，f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立.即

x2

e[x+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立．

x2

∵e>0，g(x)=x+2(1-a)x- …… 此处隐藏：3258字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……