高中数学经典易错题会诊与试题预测02(3)

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↘ ↗ ↘ 上述规律可概括为“同性则增，异性则减”． 考场思维训练

1 函数f(x)对任意实数x都有f(x)

B.f(x)没有单调减区间

C.f(x)可能存在单调增区间，也可能不存在单调减区间

D．f(x)没有单调增区间

C 解析：根据函数单调性定义进行判断.

2 函数y=log2

1(x-3x+2)的单调增区间是_______.单调递减区间是_________.

2解析：(-∞,1),(2,+ ∞)根据复合函数单调性法则进行求解。

3 如果函数f(x)的定义域为R，对于任意实数a，b满足f(a+b)=f(a)·f(b)．

(1)设f(1)=k(k≠0)，试求f(n)(n∈N*

) 答案：解析

(1)

?f(n?1)?f(n)?f(1),?f(n?1)f(n)?f(1)?k?0.??f(n)?是以k为首项,k为公比的等比数例,?f(n)?f(1)?[f(1)]n?1?kn.(n???)

(2) 设当x＜0时,f(x)＞1，试解不等式f(x+5)＞1f(x).

答案：(2)对任意的

x?R,f(x)?f(xx2?2)?f2(x2)?0,假定存在xo?R,使f(xo)?0,则取x?0,有f(x)?f(x?xo?xo)?f(x?xo)?f(xo)?0.这与已知相矛盾则?0,于是对任意x?R,必有f(x)?0.

∵f(0)=f(0+0)=f2(0)≠0.

∴f(0)=1, 设x11,又∵f(x2)>0. ∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2) ?f(x2)>f(x2). ∴f(x)为R上的减函数，解不等式f(x+5)>

1f(x)

∵f(x)>0, ∴不等式等价于f(x+5) ?f(x)>1.即f(2x+5)>f(0),又∵f(x)为减函数，∴2x+5<0. 解得不等式的解集为??x|x??5??2??

4 是否存在实数a，使函数f(x)=log2

a(ax-x)在区间[2，4]上是减函数?

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f(

１．答案：解析：设

?(x)=ax2-x=a(x?12a)?214a当a>1时，要使f(x)在区间[2，4]上是减函数，则有：

1?a??1??4??8???a?? ?2a1??(4)?0?a???4?当0

1??1a??f(x)在[2，4]上是减函数，则有??2?4???2a??(2)?0?a?1??2??a?12.

即

12?a?1.

12,1).

综合，得存在实数a，且a的范围为(

命题角度3 函数的奇偶性和周期性的应用

1．(典型例题)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，4]时,f(x)=x-2．则 ( ) A．f(sin)＜f(cos) B．f(sin

2211?3)＞f(cos

32?3)

C．f(sin1)＜f(cos1) D.f(sin)＜f(cos)

23 [考场错解] A 由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期．设x∈[-1，0]知x+4∈[3，4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2． ∴f(x)在[-1，0]上是增函数 又f(x)为偶函数．∴f(x)=f(-x)

∴x∈[0，1]时,f(x)=x+2，即f(x)在[0，1]上也是增函数．又∵sin＜cos

2112? f(sin)＜f(cos)．

2211 [专家把脉] 上面解答错在由f(x)=f(-x)得f(x)=x+2这一步上，导致错误的原因主要是对偶函数图像不熟悉．

[对症下药] C 由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期，设x∈[-1，0]，知x+4∈[3，4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2． ∴f(x)在[-1，0]上是增函数．

又∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图像关于y轴对称． ∴f(x)在[0，1]上是减函数． A：sin

2112?f(sin)>f(cos)

22?11 B：sin

?3＞cos

23f(sin

?3)＞f(cos

?3)．

C：sin1>cos1?f(sin1)

故正确答案C．

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2．(典型例题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是 ( ) A．(-∞，2) B．(2，+∞)

C．(-∞，-2)∪(2，+∞) D．(-2，2)

[考场错解] C f(-x)=f(x)＜0=f(2)．∴x＞2或x<-2．

[专家把脉] 以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反．错误地认为f(x)在[0，+∞]上仍是减函数，导致答案选错．

[对症下药] D ∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)=f(|x|)．∴f(x)<0．f(|x|)＜f(2)．又∵f(x)在(-∞，0)上是减函数，∴f(x)在[0，+∞]上是增函数，|x|＜2?-2

3．(典型例题)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_______

[考场错解] 填-f(0) ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(-x)=-f(x)．又f(x)的图像关于x=对

2112对称，则

称．

∴f(x)=f(1-x) ∴f(-x)+f(-x+1)=0． ∴f(x)+f(x-1)=0

∴f(5)+f(4)=0．f(3)+f(2)=0．f(1)+f(0)=0． ∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0)

[专家把脉] 上面解答忽视了奇函数性质的运用．即f(x)在x=0处有定义?f(0)=0．

[对症下药] 填0 依题意f(-x)=-f(x)．f(x)=f(1-x)．∴f(-x)=-f(1-x) 即f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0 ∴f(5)+f(4)=0，f(3)+f(2)=0．f(1)+f(0)=0．又∵f(x)在x=0处有定义，∴f(0)=0∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O.

4．(典型例题)设函数f(x)在(-∞，+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)．f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0．

(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005，2005]上根的个数，并证明你的结论． [考场错解] 依题意f(x)=f(4-x)．f(x)=f(14-x)．∴f(4-x)=f(14-x)，∴f(x)=f(x+10)∴f(x)是以 10为周期的函数,f(3)=0．∴f(-3)=f(7)=0．

∴f(3)=f(-3)=-f(3)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(2)由(1)知f(x)是周期为10的周期函数，又f(3)=f(1)=0，∴f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0．

故f(x)在[0，10]上有两个解，从而可知函数y=f(x)在[0，2005]上有401个解．[-2005，0]上有401个解，所以函数丁y=f(x)在[-2005，2005]上有802个解．

[专家把脉] (1)对题意理解错误，题设中“在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0”说明除了f(1)、f(3)等于 0外再不可能有f(7)=0．(2)因f(x)在R上既不是奇函数，又不是偶函数．不能认为x∈[0，10]，[-10，0]上各有两个解，则认为在[0，2005]与在[-2005，0]上解的个数相同是错误的，并且f(x)=0在[0，2005]上解的个数不是401个，而是402个．

[对症下药] 由f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)得函数丁y=f(x)的对称轴为x=2和x=7．

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从而知函数y=f(x)不是奇函数． 由??f(2?x)?f(2?x)?f(x)?f(4?x)????f(7?x)?f(7?x)?f(x)?f(14?x)f(4-x)=f(14-x)?f(x)=f(x+10)．从而知f(x)是周期为10的

周期函数．

又f(3)=f(1)=0,而f(7)=f(-3)≠0． 故函数y=f(x)是非奇非偶函数．

(2)由(1)知f(x)是以周期为10的周期函数． ∴f(1)=f(11)=?=f(2001)=0

f(3)=f(13)=?=f(2003)=0

f(x)=0在[0，2005]上共有402个解．同理可求得f(x)=0在[-2005，0]上共有400个解． ∴f(x)=0在[-2005，2005]上有802个解．

专家会诊

1．函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断有时需要将函数进行化简．

2．要注意 …… 此处隐藏：2621字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……