理论力学 计算题(9)

由于两质点无外力作用，质心作惯性运动，原来质心静止，故由vc?m1v1?m2v2?0得

m1?m2m1v1?m2v2?0...........(3)

又根据速度合成方法知v12?v1?v2.......(4) 解（2）（3）（4）式得v1??m22k2k v2?m1

a(m1?m2)a(m1?m2)v1为负值表明与v2方向相反

如图示，一长为l的均质链条在水平面上自然堆成一堆，线密度为?，某人持链条一端以匀速v将其提高，试证：当他的手离开水平面的高度为x时（x?l），链条对手的作用力大小

?v2为F???x?g?

????g ?

解法1：用质心运动定理求解

???P??lg取链条整体为研究对象，在t时刻，整体所受的外力有重力，拉力F和水平面对静??止的那部分链条的支持力F????l?x?g。由质心运动定理可得

?????mac?F??lg???l?x?g 式中ac为质心的加速度。

?c?F??lg???l?x?g x上式在x轴上的投影式为m??x????l?x??0由于链条的质心坐标为xc?x2?lx2? 2lxv2?c?v,??c?x则有x

ll

v2v2?F??lg???l?x?g,m?F??xg 代入投影式得mllv2?v2?所以F??xg?m??x???g ??l?g?解法2：用动量定理求解

???取链条整体为研究对象，在t时刻，整体所受的外力有重力P??lg，拉力F和水平面对??静止的那部分链条的支持力F????l?x?g

链条整体的总动量在竖直方向分量为Px??xv??(l?x)?o??xv

???整体所受的外力有重力P??lg，拉力F和水平面对静止的那部分链条的支持力??F????l?x?g

上式在x轴上的投影式为FX?F??xg

由动量定理

dPxdPddx?Fx得x?(?xv)??v??v2?Fx?F??xg dtdtdtdtF??xg??v2

解法3：用变质量问题方法求解

如图示，取已上升部分为主体，其质量为m??x，速度为v，不断增加部分为变体，

dm??dx其速度u?0，主体和变体所受合外力为F合?F??xg

由密歇尔斯基方程

ddm(mv)?u?F合得 dtdtddx(?xv)?F合?F??xg 即?v??v2?F合?F??xg dtdt2故F??xg??v

圆环质量为M，放在光滑水平面上，有一质量为m的小虫在圆环上爬行，如图示，求证：

小虫在圆环上相对地爬行一周时，圆环的自转角度不超过180°。设初始时系统静止。

解：以小虫+圆环为质点系，圆环圆心为参考点，质点系受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。

故质点系动量矩守恒。

?在质点系起始时，t?0,G0?0 在某时刻小虫相对于圆环的速度为u，圆环的 角速度为?，则小虫

的绝对速度为v?u??r 小虫的动量矩为：G1?mr(u??r) 方向沿转轴方向。

圆环动量矩为：G2?I??1Mr2? 方向也沿转轴方向。 21Mr2??0 有???2由动量矩守恒定律得：G1?G2?mr(u??r)?u M(1?)r2m又 ??d?d?ds?? 即 ,u?dtdtdt1ds1ds积分得： d???MdtM(1?)r(1?)r2m2m??0d???2?r0?1ds M(1?)r2m2? M(1?)2m???假设小虫和圆环质量相等 故???4?=-240° 300假设M=2m，则??????180 一般M?m 故??180

另正解：以小虫+圆环为质点系，圆环圆心为参考点，质点系受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。故质点系动量矩守恒。

?在质点系起始时，t?0,G0?0 在某时刻小虫相对于圆环的速度为u，圆环的 角速度为?，则小虫

的绝对速度为v?u??r 小虫的动量矩为：G1?mr(u??r) 方向沿转轴方向。

圆环动量矩为：G2?I??Mr? 方向也沿转轴方向。

由动量矩守恒定律得：G1?G2?mr(u??r)?Mr??0 有???22u M(1?)rm又 ??d?d?ds??,u? 即 dtdtdt1ds1ds积分得： d???MdtM(1?)r(1?)rmm

??0d???2?r0?1ds M(1?)rm2? M(1?)m0???假设小虫和圆环质量相等 M=m 故??????180 假设M=2m故???2???1200 30一般M?m 故??180

一光滑球A与另一静止的光滑球B发生斜碰，如两球均为完全弹性体，且两球质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。

?证明：设两球质量为M，光滑球A碰前速度矢量为V1，光滑球B碰前速度矢量为0，

????A和B碰撞后的速度的速度矢量为V1,V2

?????由于两球碰撞过程中动量守恒有MV1?MV1?MV2.......(1) 1?21?21?2MV1?MV1??MV2?.......(2) 222??2?2?2（1） 式代入（2）式有(V1??V2?)?V1??V2?

又两球为完全弹性体动能守恒有

??整理上式得2V1??V2??0，由于V1??0,V2??0所以欲使两矢量的乘积为零，只有两矢量互相垂??直即V1??V2? 结论得证

有三个完全弹性的小球,质量分别为m1、m2、及m3，静止于一直线上，今于第一球上加上v1的速度，其方向沿此直线，设m1、m3及v1为已知，求第二球的速度为何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。

?，第二球的速度为v2? 解：设第一、第二球碰撞后第一球的速度为v1??v1??1?e?则由速度公式得v1m2?v1?v2?

m1?m2m1?v1?v2?

m1?m2??v2??1?e? v2 …… 此处隐藏：564字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……