理论力学 计算题(8)

1g1g?2???G?qz?3?G2v02?G3 当z??0时，?G?qz?2z上升高度z正好就是最大

23q23q2?3qv0G??31?值h 即h??1?

?q?2Gg??在椭圆机构中，规尺AB质量为2m1，曲柄OC质量为m1,滑块A和B质量均为m2曲柄以匀角速度ω绕轴O转动。试求机构质心的运动方程及系统动量。设各物体为均质，OC=AC=BC=l。

解法1:运动方程（C点）的运动为平面运动 运动方程为：x?lcos?t,y?lsin?t,

消去t得：x?y?l

222???????p?poc?pAB?pA?pB?m1voc?(2m1?2m2)vAB?l???l?m1(??sin?ti??cos?tj)?(2m1?2m2)(?l?sin?ti?l?cos?tj)22动量 ?5???5??m1l?sin?ti?m1l?cos?tj?2m2l?cos?tj?2m2l?sin?ti22?l??l???(5m1?4m2)sin?ti?(5m1?4m2)cos?tj22总动量值的合成:p?px2?py?2l?(5m1?4m2) 2解法2:首先建立整个系统的质心位置

l(m1?cos?t?2m1lcos?t?2m2lcos?t)2xc?(3m1?2m2)l(m1?sin?t?2m1lsin?t?2m2lsin?t)2yc?(3m1?2m2)

?c??px?mx将质心位置求导后,代入动量式

l?sin?t(5m1?4m2)2?c?py?myl?cos?t(5m1?4m2)2

l?(5m1?4m2) 2?????某质量为m的质点，其运动方程用矢量式可表达为r(t)?x(t)i?y(t)j?z(t)k ，式中：r总动量值的合成:p?px2?py?2???为质点的矢径，i,j,k分别为x,y,z的单位矢。试求：

（1） 质点的动能、动量及对坐标原点O的动量矩。 （2） 质点对点A（a,b,c）的动量矩。 （3） 作用在质点上的力及力的功率。

121?2?y?2?z?2) mv?m(x22??????i?y?j?z?k) 动量p?mv?m(x解：（1）动能T??????)i?(zx??xz??yx?)k ??zy?)j?(xy 动量矩LO?m(yz??（4） 动量矩

??????i??(z?c)x??(x?a)z??(y?b)x??k ??(z?c)y??j??(x?a)yLA?m?(y?b)z???????????i???j???k) xyz（5） 力F?ma?mr?m(?????????m???m(x?????y?????z????) P?F?v?F?rr??rxyz功率

29、质点在xoy平面内运动，其势能为：V?2x?5xy?3y?6x?7y 试求使该质点处于平衡状态的点的坐标。

解：欲使质点平衡须使质点势能对任一函数的一阶偏微分为零即

22?V?V?0,?0 ?x?y?V?4x2?5x?6?0.........(1)?x由 ?V??5x?6y?7?0.........(2)?y求解上面方程组得平衡坐标为x=1,y=2

一人在水平台上走动，此台可通过其中心的铅直轴而旋转，人走的轨迹是以平台中心为圆心，r为半径的圆周，假定人重为p，平台重也为p，其半径也为r，试求当人在平台上走完一周时平台转过的角度。

解：以作平台为质点系，受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。假设平台与转轴接触面光滑无摩擦，故质点系动量矩守恒。

?在质点系起始时，t?0,G0?0 在某时刻人相对于平台的速度为u，平台的角速度为?，则人的绝

对速度为v?u??r 人的动量矩为：G1?pr(u??r) 方向沿转轴方向。 g平台动量矩为：G2?I??1p2r? 方向也沿转轴方向。 2gpp22ur(u??r)?r??0 ???? g2g3r由动量矩守恒定律得：G1?G2?又

??

?2?rd?dsd?2ds22 d???ds积分得：?d????,u? 即 ??ds

00dtdtdt3rdt3r3r故???4? 332、一均质木板放在光滑的水平面上，板的一端站着一个人。在某一时刻，人以不变的速度u向x轴正向运动。设板的质量为m1，人的质量为m2。试求t秒钟后，人的绝对速度v与位移以及板的绝对速度v1与位移。

解：以人和板为研究对象。系统受力：人的重力P，板的重力W，光滑的水平面对板的正压力FN。以上受力均在竖直方向，所以水平方向受力为零，则动量守恒。

在初始时刻t=0，人和板都静止，动量pax=0，任意时刻t，设板的绝对速度v1沿x轴正向，则由点的合成运动可知，人的绝对速度为v=v1+u。 由动量守恒定律得：m1v1+m2(v1+u)=0 解此方程得 v1??m2u 负号表示板的运动方向与x轴正向相反。

m2?m1m2m1u?u 正号表示人的运动方向与x轴正向相同

m2?m1m1?m2m1m2ut,?x1?v1t??ut

m1?m2m1?m2由此得人的绝对速度为v?v1?u?u?因u与v都是常量，故人和板的位移分别为?x?vt?设矢量r在笛卡儿坐标系中的投影为?x,y,z?，证明divr?3,rotr?0并求使r?grad?的函数?

??????x?y?z????????????解：（1）divr???r???i?x?j?y?k?z???xi?yj?zk??x??y??z?3

?????ijk???????z?y????x?z????y?x??rotr???r?????i????j????k?0 （2）?????x?y?z??y?z???z?x???x?y?xyz??

???????????????i?j?k （3）由rotr?0可知势函数?必存在，由r?xi?yj?zk,r?grad???x?y?z?????x?x??1????x2??f?y,z?????4? 故??y ??2? 积分（1）式得??2?y???3?????z???zy2?f?y,z??y 积分得f??g?z?????5? 代（4）入（2）得

?y2x2y2??g?z?????6? 代（5）入（4）得??22z2???g?z??c????7? 代（6）入（3）得??z 积分得g?z??2?z?zx2y2z2???c 代（7）入（6）得??222质量为m1及m2的两自由质点互相以引力吸引，引力与其质量成正比，与距离的平方成反比，比例常数为k，开始时两质点皆处于静止状态，其间距离为a，试求两质点间的距离为两质点的速度。

解法1：用机械能守恒定律求解

令质量为m1自由质点的速度为v1，质量为m2的自由质点速度为v2，则因两质点互相吸引，故v1v2方向相反，取v1方向为正方向如图示

由于两质点无外力作用，故动量守恒有m1v1?m2v2?0...........(1) 两质点间的相互吸引力为万有引力是保守力

a时2r v 2m

2

v 1m

1

??rkm1m2km1m2dr??由保守力性质得势能为V???F?dr???式中r是两质点间的距

??rr2r

离。由机械能守恒定律?km1m21kmm12?m1v12?m2v2?12

aa222即

kmm112m1v12?m2v2?12............(2) 22a解（1）（2）式得v1?m2解法2：用动能定理求解

2k2k v2?m1

a(m1?m2)a(m1?m2)令质量为m1自由质点的速度为v1，质量为m2的自由质点速度为v2，则因两质点互相吸引，故v1v2方向相反，取v1方向为正方向如图示

??km1m21122??dr 由dT??W得d(m1r1?m2r2)?F?dr??22r2积分上式得

kmm112m1v12?m2v2?12............(1) 22a由于两质点无外力作用，故动量守恒有m1v1?m2v2?0...........(2) 解（1）（2）式得v1?m22k2k v2?m1

a(m1?m2)a(m1?m2)解法3：用两体问题方法求解

由于两质点无外力作用可视为两体问题

d2r12?F得 由两体问题运动方程?dt2d2r12dvmmdv12kmm?2??12?12?F??122........(1)

dtm1?m2dtdtr12又

dv12dv12dr12dv???v1212 dtdr12dtdr12代入（1）式有

1kv12dv12??2dr12

m1?m2r12a2a积分

?v120v12dv12???k(m1?m2)dr12得v12?2r122k(m1?m2).........(2)

a