理论力学 计算题(6)

得轨迹方程为x2?y2?25是一圆的方程，其半径R=5 由（1）式得

???50tsin5t2,y??50tcos5t2.........(x2)

?2?y?2?2500t2(sin25t2?cos25t2)?50t..........所以速度为v?x(3)

切线加速度为a??dv?50 说明质点作匀加速圆周运动 dtv22500t2?500t2 法线加速度为an???5?2???2?2500?250000t4?501?100t4 全加速度为a??xy

（3） 由x=4cos2t, y=3sin2t…….（1）

x2y2得轨迹方程为??1为一椭圆方程

169由（1）式得所以速度为

???8sin2t,y??6cos2t.......(2)x

????16cos2t,????12sin2t......(3)xy?2?y?2?64sin22t?36cos22t?216sin22t?9cos22t..........v?x(3)

全加速度为

?2???2?(?16cos2t)2?(?12sin2t)2?416cos22t?9sin22t.......(a??xy4)

如图6 -1 所示, 半径为R 的车轮在直线轨道上滚动而不滑动, 已知轮心C 的速度是常量u , 求轮缘上一点M 的轨迹, 速度和加速度及轨迹的曲率半径.

图6-1

解 将M点与地面的接触时的位置作为直角坐标系的

原点O , 并建立直角坐标系如图所示, 经过时间t, M 点的坐标为: x

= ut - Rsinφ y = R - Rcosφ

因轮纯滚动, 线段O D 与弧长D M 相等,

??DMutR?R整理后得运动方程为 x?ut?RsinutR y?R?cosutR从运动方程中消去时间t 后, 得轨迹方程为:

x?y?2R?y??RarccosR?yR .即M 点的轨迹为旋轮线(或摆线) , 速度在x , y 轴上的投影、大小及

v?utx?x?u?ucosRvy?y??usinutR方向余弦分别为v?v22sinutx?vy?2u2R

cos??vxv?sinut2R?sin?2cos??vyut?v?cos2R?cos2M 点的加速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦分别为

u2ut?x????ax?vxsinRRu2ut?y????ay?vycosRRu222 a?ax?ay?Rautcos???x?sin?sin?aRayut?cos???cos?cos?aR即各点加速度指向轮心

u2v2ut又a?a??a?,an?,而a??v,由此可求得: ??4Rsin

R?R22n证明题

证明：质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。

证明：考虑质点在任意一条与过圆心的铅垂线夹角为??的弦上的运动，则在任意

位置的受力如图所示。沿弦的方向用质点动力学基本方程得

质点加速度 a?gcos?，即质点作匀加速运动。考虑到初始条件，不难求得其运动方程为

s?1212at?gtcos? 22又弦长（从圆顶点滑到圆周上的路程）为

s?2rcos?

质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需

的时间 t?2s?a4rcos??gcos?4r，与?无关，故质量为m的质量从圆的最高g点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证毕。

重为P的小球位于半径为r的光滑球面顶点，小球从静止开始下滑，求小球脱离球面的位置。

解：小球运动过程中受力为重力和支持力，只有重力作功，机械能守恒。 设球面顶点处为零势能面 由机械能守恒定律有0?1P2?v?P(r?rcos?) 2g故v?2gr(1?cos?).............(1)

2Pv2?Pcos??N 小球在法向方向运动微分方程为?gr小球脱离球面时N=0，所以有v?grcos?.................(2) （1）代入（2）式有grcos??2gr(1?cos?)

222,??arccos?48011? 33r?h2r又由几何关系知cos??? （h为自球面顶点起下降高度）得h?

r33整理有cos??讨论：由以上结论知小球脱离球面位置与小球（质量）无关，当球面不光滑时与小球（质

量）有关。

第二章质点系力学

一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及炮车质量和等于M，炮车可以自由地在铁轨上反冲，如炮身与在地面成一角度?，炮弹对炮身的相对速度为V，试求炮弹离炮身时对地面的速度v及炮车反冲的速度U。 …… 此处隐藏：74字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……