理论力学 计算题(5)

积分得f(y)?12y?c????5? 2x2y2??xy?c????6? 代（5）入（4）得V??22x2y2??xy 取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能函数为V??22则由保守力与功的关系可知

11111111W??(V2?V1)?V1?V2?(?x2?y2?xy)(1,0)?(?x2?y2?xy)(1,1)???(???1)?22222222Fx?x?2y?z?5设作用于质点上的力场的力矢为Fy?2x?y?z

Fz?x?y?z?6求此质点沿螺旋线x?cos?,y?sin?,z?7?运行，自??0至??2?时力场所作的功 解：由保守力性质计算

???ijk??????Fz?Fy??r?????x?y?z??y?z?FxFyFz???(1?1)i?(1?1)j?(2?2)k?0????Fx?Fz????Fy?Fx????i???z??x?j????x??y??k

??????故力场F为保守力场

??VF???x?2y?z?5.............(1)?x?x??V?F???2x?y?z.............(2) ?y?y??F???V?x?y?z?6..............(3)z??z?x2?2xy?xz?5x?f?y,z?????4? 积分（1）式得V??2（4）式对y偏微分=（2）式得

?V?f?y???2x???2x?y?z ?y?y积分得f(y,z)??12y?zy?g(z)????5? 2x2y2??2xy?xz?5x?yz?g(z)????6? 代（5）入（4）得V??22

（6）式对z偏微分=（3）式得

?V?g?z???x?y???x?y?z?6 ?z?zz2?6z?c????7? 积分得g?z???2x2y212??z?2xy?xz?5x?yz?6z?c????6? 代（7）入（6）得V??222取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能函数为

x2y212V????z?2xy?xz?5x?yz?6z????6?

222又由x?cos?,y?sin?,z?7?知当??0时x?1,y?0,z?0；

??2?时x?1,y?0,z?14?

则由保守力与功的关系可知W??(V2?V1)?V1?V2121212111x?y?z?2xy?xz?5x?yz?6z)(1,0,0)?(?x2?y2?z2?2xy?xz?5x?yz?6z)(1,0,14?)22222211111?(??5)????(14?)2?14??5?84?????5??98?2?14??5?84??98?2?70?22222?(?有一划平面曲线的点，其速度在y轴上的投影于任何时刻均为常数c，试证明在此情形下，

v3加速度的量值可用下式表示a?

c???y??x??c.................(1) 证明1：由v?x （1）式求导得v22222dv??c,???0，故??????ax? （因y??a） y?xxxdt?av2?c2dvax??........... 由此得出dtvv?v2??dv?2222?....(3) 又a?????a?an?a????..........dt?????a2(v2?c2)v222?a?() （2）=（3）得2?vv3整理得a? 结论得证

c?证明2：

22

??c,???0，故有a?axi 如图设v与y轴夹角为α，则由yyv2.............(1) 由图示几何关系知an?acos?? 即a???cos?又vy?vcos??c 则有cos????v2c...........(2) vv3（2）代入（1）得a? 结论得证

c?

33、船得一初速v0 ，在运动中受到水的阻力，阻力的大小与船速的平方成正比，而比例系数为km，其中m为船的质量。问经历多长时间船速减为其初速的一半。（15分） 解：由题意知 阻力为f?kmv 则船的运动方程为m2?dvdv??kmv2 即 2??kdt dtvv而t?0时v?v0 设船经历时间为t时，v?0 积分上式得

2?v02v0v?2dv??k?dt 即

0t?21???????kt ?v0v0?从而得t?1 kv0质点M在力X?Psin?t的作用下沿x轴作直线运动，在初瞬时t?0,v?v0，x?x0。 求质点的运动方程。

??F?X?Psi?t解：由mvn m(v?v0)?

x积分

?vv0mdv??Psin?tdt ，得

0tP???v?v0?(1?co?ts) 即 xP(1?co?st) 积分 m?t?PPP?dx?0v?(1?cos?t)dtx?x?(v?)t?sin?t 得000?x0?0?2?m?m?m???

点在xy平面内运动，当0≤x≤4时，点的轨迹为y?3?1?cos3???x??，当x＞4时，轨迹为水4?平线（如图示）。点的x坐标按规律x?t?3t变化，式中x以毫米计，t以秒计。求当t=2秒时，点的位置、速度和加速度。

3解：当t=2秒时, x?t?3t?8?6?2mm，y?3?1?cos???x??????3?1?cos??3mm 4?2?????所以点的位置坐标为 r?2i?3j?mm?

??3t2?3?9mm,y??3又 x故速度为

??x????3sin?9?21.2?mm? ?sin?xss4442???v?9i?21.2j?mm?

s????6t?12mmx?s2?

???y3???x3??x3??x3????cos?x???????xsin??xsin??x?sin?12?28.3mm2

s444444442???所以加速度为：a?12i?28.3jmm2

s????2v2g41、质量m=g kg的质点，在不均匀的介质中作水平曲线运动，阻力大小按规律F?变

3?s化，其中vo 速度，s为经过的路程，g为重力加速度。设t=0时，v0?5m,s0?0，求质点经

s过的路程与时间的关系。

d2s2v2g解：质点运动微分方程在切线方向的投影式为：m2?? 由于m=g kg

3?sdtd2s2v2d2sdvdvdsdvdv2v???v代入上式得所以有2?? 由于2? ??3?sdtdsdtdsdtdtds3?s分离变量

dv2ds2d?3?s? ????v3?s3?s

sd?3?s?dv 即lnv?ln5??2?ln?3?s??ln3? ??2?0v3?s积分得

?v5v?3?s?v3?s或ln??2ln 同取以e为底的对数 ???535?3?因此得v?s?2?9?3?s?2

45?3?s?2 或

tds452??3?sd?3?s??45dt ? 分离变量2dt?3?s?积分

123????3?sd3?s?45dt 即 ??3?s?0?03?9?45t

?3?s?3?135t?27?27?5t?1? 开立方得3?s?335t?1

故s?335t?1?1

??已知点的运动方程, 求其轨迹方程, 并自起始位置计算弧长, 求出点沿轨迹的运动规律. (1) x=4t-2t2 , y=3t–1.5t2 (2) x=5cos5t2 , y=5sin5t2 (3) x=4cos2t, y=3sin2t

解（1）由x=4t-2t2 , y=3t–1.5t2…….（1） 两式相除得?xy4?2t8?4t4(2?t)4??? 3?1.5t6?3t3(2?t)3所以轨迹方程为y?x是一直线方程

??4?4t?4(1?t),y??3?3t?3(1?t)............(2)x得 ????4.????3......................(3)xy34?2?y?2?16(1?t)2?9(1?t)2?5(1?t) 所以速度为v?x?2???2?16?9?5 全加速度为a??xy而切线加速度为a??dv??5，法线加速度an?a2?a?2?0 dt由此说明质点作匀减速直线运动。 （2） 由x=5cos5t2 , y=5sin5t2…….（1）