理论力学 计算题(2)

11122 m1?2?m2?0?J0??0222?1111s?2?m2(x?2?s?2?2x?s?co? ?m1xs)??m2r2?()2 2222r13?2?m2s?2?m2x?s?co? ?(m1?m2)?xs

24T?V??m3gssin? （常数略去）

该系统为保守系统，拉格朗目日函数为

L?T?V?m1?m223??m2s?2?m2x?s?cos??m3gs?sin? ?x24由第二类拉格朗日方程

m?m2d?L?L??m2??cos??0 ?2?xs()??0，1?2dt?X?Xd?L?L3??m2??cos??m2gsin??0 ()??0，m2?2?sx??Sdt?S4整理得

??m2??cos??0 ……① (m1?m2)?xs3?????cos??gsin??0 ……② sx2取关立（1）（2）两式，得

m2gsin2??? a??x23m1?(3?2cos?)m2

第一章质点力学

?????0点沿空间曲线运动，在点M处其速度为v?4i?3j ，加速度a与速度v夹角??30，

且a?10m/s。求轨迹在该点密切面内的曲率半径?和切向加速度a?。

2

???答：由已知条件v?4i?3j得

v?42?32?5m/s 法向加速度an?asin300?5m/s2 v2则曲率半径???5m 切向加速度 a??acos300?8.66m/s2

an一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹角?与其经过的那段圆弧对应的圆心角?之间有如下关系tan??2?

证明：设点M沿半径为R的圆作圆周运动，t时刻走过的路程为AM=s，速度为v，

对应的圆心角为?。由题设条件知

anv2tan????????a?a?Ra?a??dvdv?v?C?????b?dtds2

C为常数 积分(b)式得

?vdv??a?ds 所以v00vs?2a?s????c?

将（c）式代入（a），并考虑s?R?，所以tan??2?

质点M的运动方程为x?3t(m),y?2t(m) 求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度的大小。

2??3(m),y??4t?4(m) 所以有v?解：由于xss又：v??2?y?2?9?16?5mx?s?

?2?y?2?9?16t2 则x32t2?9?16t1221122?1???9?16t??32t?at?v2??3.2m?s?

???0,???4m,a???2???2?4mxyxyss

222an?a?at?16?3.2?2.4ms点M沿半径为R的圆周运动。如果

??????an??K(K为已知常数），以初始位置为原点，a?原点初速度为v0。求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间。

andvv2?a?????解：设点的初始位置为A。依题意 dtKKR积分上式

RKv011tdv1tv???? 得 ??dt?v0v2KR?0v0vKRKR?v0tv则弧坐标形式的运动方程为s?KRv0v0t??dt?KRln1??? ?0KR?k0t?KR?t当v?v0KR时t?

v02?为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。一质点沿圆滚线s?4asin?的弧线运动，如?式中?为圆滚线某点P上的切线与水平线（x轴）所成的角度，s为P点与曲线最低点之间

的曲线弧长。

解：因s?4asin? 故v?ds?cos??4a?cos? ?4a?dt???=常量（题设） 式中?v2dvds2??4a?sin? an??4acos? 又a?? 而???dtd?16a2?2cos2???4a?2cos? 所以an??4acos?故a?2a?2?an?4a?2sin2??cos2??4a?2=常数 结论得证

v2

设质点沿螺旋线x?2sin4t,y?2cos4t,z?4t运动，试求质点的速度、加速度和轨道的曲率半径。

解：因x?2sin4t,y?2cos4t,z?4t

??8cos4t?4y,y???8sin4t??4x,z??4 故x所以v??2?y?2?z?2?4x2?y2?1?45 x??4y???16x,????4x???16y,???0 又?xyz所以a?又a????2???2???2?16x2?y2?32 xyz??2yy?dv12xx4xy?4xy?4??4??0

22dt2x2?y2?1x?y?122所以an?a?16x?y?32

v280而????2.5

an32小环的质量为m。套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为x4ay，试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。 质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。

2?????证明：取力通过的定点为坐标原点，则质点的位矢r与力F共线，则有M?r?F?0

所以质点的动量矩守恒，即J?C

????C1..........??zyJx?m?yz..(1)??xz???C2.............(2) 其分量式为jy?m?zx??yx???C3..........Jz?m?xy...(3)由x?(1)?y?(2)?z?(3)得到C1x?C2y?C3z?0

由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。

一物体质量m=10kg ,在变力F?10(1?t)N作用下运动。设物体初速度v0?0.2m/s，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多长时间后物体速度为零，此前走了多少路程？

（知识要点）质点运动学微分方程，质点运动学第二类问题

dv?F 得 解答：由mdt再积分

s?dv??10(1?t)dt 积分得 v??5tv00vt2?10t?0.2(m/s)

t5322ds?(?5t?10t?0.2)dt 得 S??t?5t?0.2t(m) ?0?03

由 v??5t?10t?0.2?0 解得 t?2.02s 再代入前式得 S=7.07 m 质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明速度矢量v与加速度矢量a正交。

??证明：采用自然坐标系，由题意知v?c? c为常量

2??????dvd?dc?d?d?于是有a? ?(c?)???c?cdtdtdtdtdt??d??n 又在自然坐标系中??dt????dvd??dc?d?d??n 所以a??(c?)???c?c?c?dtdtdtdtdt????由于??n 故a?v 得证

12动点M以匀速v?5(m/s)沿轨迹y?x运动，求当x?2m时动点M的速度沿x和y分

3量的大小，以及M的加速度

2?2?y?2?25..........(1) 解：由v?x1224??x?........(??xx?而x?2m时yx求导数得y2)

333162?2?x??25. （2）代入（1）得x9根据y???4(m./s) ??3(m/s)代入（2）得y整理得x又a??dv22?an即a?an ?0 则a2?a?2?andt1222(1?y?) 而根据y?x微分得y??x,y??? 当 x?2m时

333y??232又由数学知识知??y??42,y??? 3332331625125(1?)2()22(1?y?)1259??9?27?所以有??

222??y18333故a?an?v2??25?3.6(m/s2) 12518

???????322某力场的力矢为F?(2xy?z)i?xj?3xzk 其中i,j,k分别为x,y,z轴的单位矢，

试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。 解

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