理论力学 计算题(13)

解：设圆柱质量为m，绳的张力为T。

?A?mg?Tm?x?A?0y由图可知圆柱作平面运动，其运动方程为m? ???TRI?A1??23gh,又t=0时，x?0,y?0,??0代入上?A?R?mR2，xAA23??2gt,??gt2,y?0,x?1gt2 式得?AA3R3R3由于IA?均质圆柱体A的质量为m，在外圆上绕以细绳，绳的一端B固定不动，如图所示。当BC铅垂时圆柱下降，其初速为零。求当圆柱体的质心A降落了高度h时质心A的速度和绳子的张力。

解：

先求质心A的速度，设当圆柱体的质心A降落了高度h

时质心A的速度为vA。

根据机械能守恒，以初始位置的重力势能为零，有

32mvA?hmg?0 （1） 4解得 vA?

23hg 3下面求绳子的张力。为此先求质心A的加速度，

将式（1）对时间求导，并注意到关系

dvdh?vA , A?aA， 得 dtdt

dv3dh3dvAmvAA?mg?0 ? ?g?0 2dtdt2dt解得 aA?2g 3取圆柱为研究对象，受力分析见右下图，在铅垂方向用质心运动定理

maA?mg?FT

图示两物体重为P和Q（P＜Q），用长为l，跨过半径为r为滑轮的绳连接，开始时两物体的高度差为h，不计轮与绳的质量。求静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。

?1FT?mg?maA?mg

3

解：两物体的运动方程为

QP??Q?Q?T,a??P?T?P agg??Q?a??P,hQ?又a整理得：t?11??Qt2,hP?a??Pt2,hQ?hP?h a22hP?Q ?gQ?P?图示折杆OAB，已知OA?AB?l，?OAB?120，O与固定铰连接，?、

?大小已知，转向如图所示。试求AB中点C的速度和加速度。

解：

1°研究点C。OAB作定轴转动，可由定轴转动刚体的运动确定其上点C的速度和加速度。

2°速度分析

vc?oc?? 其中

222? OC?OA?AC?2?OA?AC?co1s20

ll7

?l2?()2?2?l?sin30??l2

224 OC?7l2

所以 方向如图所示

vC?3l?2

3° 加速度分析

ac?oc??方向如图示。

??7l?2

a?oc??nc2?72l?2

???(0???45)??45u图示机构，杆AB在时以匀速作直线平动，试求在任意位置

时，杆OD的角速度、角加速度。

解：

OD作定轴转动，AB作直线平动，1°研究系统。取?为杆OD的转角。由题意知杆OD的角速度? 转向如图示，并设出? 的转向。

2°运动速度分析。杆AB上点A的运动方程为 yA?ltg?

?A?lvAy?y其速度、加速度为

由图示杆AB的速度知 vAy1cos?2??

???u?j??u

2si?n2lcos2??????0a?v?l???AyAy????u32cos?cos?l因此 ?，?????????? 根据图示?、?的 转向有 ????u2cos2????2sin2??cos2???ull所以 ，

计算结果说明，?的真实转向与图示所设相反。

有一直角三角形薄板,两个直角边的连长分别为a、b，试求该板的三个主转动惯量和三个惯量积。

解：由于板的z坐标为零，故：惯量积Izx?Izy?0 三角形斜边的方程为即：y?xy??1 abb?a?x? a在三角形薄板上取质量元dm??ds?m2mdx?dy?dx?dy 1abab2ab(a?x)a0所以

主转动惯量：

Ixx??y2dm??y2??dx?dy???dx?03y2?dy???a01dx?y333b(a?x)a0

b3a3m2m又 ?? ?1abab2???a0(a?x)3dx??14?(a?x)3a34?b3a0??b312a3a4??ba12

2m3ba?b3aab1所以有Ixx???mb2

12126同理：

Iyy??xdm??x??dx?dy???xdx?022a2b(a?x)a0dy???xdx?y0a0a2b(a?x)a0

ba?b12142(a?x)?x?dx??(ax?x)?0a34a122 由垂直轴定理得Izz?Ixx?Iyy?m(a?b)

6??惯量积

??ba123?1ma26Ixy2m2m2mxy?dm?xy?dx?dy?x?dxy?dy?x?dx??ab???ab?ab?0ab?a?x?a?y?dy?1mab 12三个质量都为m的质点用质量可以不计的刚体连结成正三角形，边长为b。求（1）三个中心的主转的惯量。（2）在任一个顶点的三个主转动惯量。（3）讨论中心主转惯量与任一点的主转惯量之间的关系。

（1）质心C在几何形心，轴y是对称轴，轴z是过质心C并与对称面Cxy相垂直，轴x 与轴y、z正交。所以Cx、Cy、Cz是三个中心惯性主轴。