理论力学 计算题(12)

所示. 今有一水平力F 垂直作用于A 端, 大小为98N , 求此力作用的瞬时, 杆中点C 的加速度大小aC = ( 2m/s2 ), 杆的角加速度大小α=( 6rad/s2 ), A端加速度大小aA =( 8m/s2 ) .

图12-17

解 AB 杆作平面运动. 由平面运动微分方程可知 maC=F , JCα=AC·F

1即49*aC = 98 ,12×49×22·α=1×98

因此可求得aC= 2m/s2 , α= 6rad/s2 又以C为基点可求得A 点加速度 aA=aC+AC·α=8m/s2

第三章刚体力学

为了测定一半径为0.5m的飞轮的转动惯量，在飞轮上绕以软绳，挂一质量为10kg的重物。测得重物从静止下落2m的时间为16s。如果轴承中的摩擦力可以略去不计，则飞轮的转动惯量为多大？

解：重物从静止下落 由h?122h2?2at,得a?2??0.015625m/s 22t16

又 ma?mg?FT 则FT?mg?ma?10(9.8?0.015625)?100N

J??rFT,r??a由刚体转动方程

r2FT0.52?100J???1600N?ma0.015625

3???在直角坐标系中，三轴的单位矢为i,j,k。物体的惯量张量为I?N0020?1。设一转轴通10?1?3?6????过上述直角坐标系原点，方向为

?3j?3k?，那么物体对于该轴的转动惯量是多少？ ??????3?6?j?k 于是物体对于该轴的转动惯量为 解：由于n??i??j??k?0?33??300???36??N02?1??I???0,,?33????0?11?????0?3?2?2?2N 3?36??3???匀质圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为?0 。已知圆盘与桌面的摩擦系数为?，问经过多长时间后盘将静止？

?t；当末角速度为零时，?为常数时，则有???0??解：当角速度?。则有t???0????1? ????0，并非t为负值）（注意，?。作用于圆盘的反力矩的大小为

L??r???dm?g??r????rd??dr?g

由题意，圆盘的面密度为??m ，代入上式?a2a22???gam????2? ??2??33?a?m?2??mL??g?2??d??r2dr??g?20??a?0??a??12?定轴转动的动力学方程为I??L????3? 已知圆盘的转动惯量为I?ma????4?

2将（2）（4）代入（3）得?24?g?1?????ma2?????gam 于是得?????5?

33a?2?

代（5）入（1）得t?3?0a 4?g一块正方形薄板的边长为l,质量为m，求在其中心的惯量张量，已知z轴垂直于板面，x与y轴平行于两边。

解：由于薄板的坐标z?0，所以惯量积Iyz?Izx?0，又由于薄板相对于平面oxz,oyz对称，所以惯量积Ixy?0

薄板相对于x轴的转动惯量为

?y?1Ixx????y2?z2?dm????y2dxdy???y2dy?dx?l????ml2

?3??l122l2l?2l2l?23l2因x轴与y轴均为对称轴，所以Iyy?由垂直轴定理知Izz?Ixx?Iyy?1ml2 1212ml 6?100???1ml2

于是正方形薄板相对于中心的惯量张量为I?010??12??002??一端系于天花板顶上的绳子，在另一端系一半径为r，重量为p的滑轮，求滑轮中心向下运动的

加速度和滑轮转动时的角加速度。 解：建坐标如图示 o 滑轮受力：重力p，绳子张力T

P??c?P?T????1?xg建动力学方程式：

1P2???Tr????2?r?2g??????x?c?????3? ?c 即r?x又由约束条件：r?1P32?c?g x解（1）（2）（3）式得?32g????3rT?如图示，均质轮Ⅰ质量为m1，半径为r1 ，在O1O2的带动下沿半径为r2的固定轮Ⅱ作纯滚动。杆O1O2为均质，质量为m，长为l（l?r1?r2），整个系统处于水平面内，O1、O2处的摩擦不计，

滚动摩阻不计，求：在杆O1O2上施加力矩M，由静止开始，当O1O2杆转过?角时杆的角速度和角加速度。

解：取杆O1O2及轮Ⅰ为研究对象。初动能T1?0

O1O2杆转过?角时，设杆的角速度为?，轮Ⅰ的角速度为?1 则

系

统

的

动

能

T12I12121121222?O1O2?2?2m1vO1?2IO1?1?6ml2?2?2m1vO1?2(m1r1)?1 又vO1??l??1r1,?l1??r 所以T2?1?2?m?3?3m12?2212???l 作用于系统上的外力的功为W?M?

由动能定理T1?m3m1?22?T1?W得

2??3?2???l2?M? ??12M?(2m?9m2 1)l1将?、?对t求导数得??12M(2m?9m2?11)l2?2?1????6M?2m?9m2 1?l、图示半径为r、绕水平轴转动的圆轮O，轮缘上绕一不可伸长的绳子。绳下端系一

物体A，从静止开始以等加速度a0下落。求轮缘各点全加速度a与重物下降高度h的关系。

为

解：圆轮作定轴转动，重物A作直线平动。任一瞬时，轮缘上各点的速度大小与重物下落速度相同；轮缘上各点的切线加速度大小等于重物的重力加速度。 依题意 a??dvvdv??a0?C dtdyh0积分

?v0vdv??a0dy 则v2?2a0h ?2a0h r而an?v2?全加速度大小：a?a??an22?2ah??2h??a0??0??a01???

?r??r?22 方向：tan?a,an????????aran?r 2h图示半径为R的均质圆柱A缠以细绳，绳的B端固定，圆柱自静止下落，其轴心速度为vA?23gh（h为轴心至初始位置的距离）。求圆柱A的运动方程。 3