理论力学计算题(3)

来源：网络收集时间：2026-01-31

导读： ?i????F??x2xy?z3 ?j??yx2?k??(3xz2)?(x2)??i?(??z?y?z23xz???(2xy?z3)?(3xz2)??j???z?x?? ???(x2)?(2xy?z3)????22 +k????i(0?0)?j(3z?3z)?k(2x?2x)?0 ?x?y??故力场为保守力� � ?U?2xy?z3??????(1)?x?U由 Fy???x2??

?i????F??x2xy?z3

?j??yx2?k??(3xz2)?(x2)??i?(??z?y?z23xz???(2xy?z3)?(3xz2)??j???z?x??

???(x2)?(2xy?z3)????22 +k????i(0?0)?j(3z?3z)?k(2x?2x)?0

?x?y??故力场为保守力场。

?U?2xy?z3??????(1)?x?U由 Fy???x2?????????(2)

?y?UFz???3xz2????????(3)?zFx??（1）式积分得：U??xy?zx?f(y,z)?????(4) 对（4）式求偏导数得：

23?U??f(y,z)???f(y,z)???x2???x2 即?0 ?y?y?y23上式得：f(y,z)?g(z) 代入（4）式得：U??xy?zx?g(z)??????(5) 对（5）式求偏导数得：?U??g(z)???g(z)???3xz2???3xz2即?0 积分得：g(z)?c ?z?z?z23代入（5）式得：U??xy?zx?c 取x?0,y?0,U?0 则c?0 所以势能函数为 U??xy?zx

某力场的力矢为Fx?6abzy?20bxy,Fy?6abxz?10bxy,Fz?18abxyz 试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。

解

：

33234223?i????F??xFx?k??Fz?Fy????Fx?Fz????Fy?Fx????????i?????j??????k?z??y?z???z?x??x?y??FZ???22223333?(18abxz?18abxz)i??18abzy?18abzy?j??6abz?40bxy?6abz?40bxy?k?0?j??yFy

故力场为保守力场。

?U?6abz3y?20bx3y2??????(1)?x?U由 Fy???6abxz3?10bx4y??????(2)

?y?UFz???18abxyz2????????(3)?zFx??对（1）式积分得：U??6abzyx?5bxy?f(y,z)?????(4) 对（4）式求偏导数得：

342?U??f(y,z)???6abz3x?10bx4y???Fy??6abxz3?10bx4y ?y?y即

??f(y,z)??0上式得：

?yf(y,z)?g(z) 代入（4）式得：

U??6abz3yx?5bx4y2?g(z)?????(5)

对（5）式求偏导数得：即

??g(z)??0 积分得：g(z)?c代入（5）式得： ?z?U??g(z)???18abz2xy???Fz??18abxyz2 ?z?zU??6abz3yx?5bx4y2?c??????(6)

取x?0,y?0,z?0,U?0 则c?0 所以势能函数为U?5bxy?6abxyz

423Fx?a11x?a12y?a13z已知作用于质点上的力为Fy?a21x?a22y?a23z

Fz?a31x?a32y?a33z式上系数aij(i,j?1,2,3)都是常数，问这些aij满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。

解：要满足势能存在须使力场为保守力场，既力场的旋度为零，

?所以??F?0

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