秀屿区2003—2004年度中学论文汇编（数学专辑）(5)

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(1)－(2)，得(x－y)=4， ∴x－y=2或－2

解得x=8，y=6或x=6，y=8 即AE=8，AF=6或AE=6，AF=8

此题是由勾股定理及面积关系，建立起方程组，由于题目中未说明AE、AF哪条大，因此应有两解。 2、函数思想

函数是中学数学的重要内容之一，函数的思想和方法已渗透到数学的各个方面，解题时，若能注意用函数的观点考虑问题，借助函数的性质来处理，常可使问题化难为易。

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例3：已知方程x+bx+c=0的两根均大于1，则b+c+1的值( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.不能确定

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分析：b+c+1恰为代数式x+bx+c当x=1时的值，若令y=x+bx+c，则b+c+1为当x=1时的函数值，由点(1,b+c+1)在图象上的位置，使可判别b+c+1的大小。

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解令：y=x+bx+c，则当x=1时，y=b+c+1

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∵方程x+bx+c=0的两根均大于1

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∴函数y=x+bx+c与x轴的交点均在点(1，0)的右侧。 又抛物线的开口向上，这样可得抛物线的大致图象（如上图所示）。由图象观察，知b+c+1>0。故选（B）

3、数形结合思想

数和形是数学的两大柱石，一方面可使图形性质通过数量计算准确地表示出来，这就是以数助形，另一方面可使抽象的数量关系，通过图形形象直观地表现出来，这就是以形助数。

例4：如图，线段AB在x轴上，

以AB为直径的圆交y轴于点C，

已知AC=25，BC=5。(1)求A、B、 C三点的坐标；(2)设二次函数

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y=ax+bx+c的图象过点A、B、C，求 这个二次函数的解析式；(3)求这个二次

函数图象的顶点坐标和对称轴，并画出略图；(4)求当x为何值时，y>0;y=0;y<0。

分析：这是一道典型的数形结合的试题，解此题的关键是由形到数，再从数到形，反复运用。解(略)，答案是：

(1)A(-4,0)、B（1，0）、C（0，2）

123x?x?2； 223253(3)顶点坐标为（－,），对称轴是x=－，图象略。

282(2)所求二次函数为y=

(4)当－40；当x=－4或1时，y=0；当x<－4或x>1时，y<0 2

例5：若方程4x－2x+k=0的 一个根大于－3且小于1，另一根 大于1且小于3，求k的取值范围。

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解令f(x)=4x－2x+k，依题意f(x)的图象如右图所示。

?4(?3)2?(?3)?k?0?f(?3)?0?2?∴?f(1)?0??4?1?2.1?k?0 ?f(3)?0?4?32?2.3?k?0??∴－30

分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的一种数学思想。分类原则是同一标准下，不重复也不遗漏。在初中数学中，分类的思想到处可见。既有数的分类，也有式和形的分类，既有公式和概念上的分类，也有解题方法上的分类。

例6：解关于x的方程： 2

ax+a=x+1(a为实数)

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解原方程可化为(a－1)x=1－a 即(a－1)(a+1)x=－(a－1)

当a－1=0，即a=1时，方程的解为一切实数； 当a+1=0，即a=－1时，方程无解；

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当a－1≠０，即a≠±1时，方程有唯一解

x=－

1 a?1

例７：相交两圆的半径分别为８和５,公共弦长为8，这两个圆的圆心距等于( ) 解：如下图，设⊙O1与O2的公共弦为AB，O1O2交AB于C，则AB=8，从而AC=4。 ∴O1C=82?44?43,O2C?52?42?3

若O1、O2在AB的异侧，有O1O2=43?3；

若O1、O2在AB的同侧，有O1O2=43?3；

5、整体思想

整体思想是一个重要的数学观念，对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则困惑棘手，步伐艰难，如果从整体着眼，则大刀阔斧，长驱直入。

例8：计算(a1+a2+?an－1)(a2+a2＋?an－1+an)－(a2+a3?＋an－1+an)

分析：如果按多项式乘法法则逐一展开，该有多么艰难，若用整体思想，求大同存小异，整体设元，则十分简便。

解设a2+a3+?an－1=x，则

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原式=（a1+x）(x+an)－x(a1+x+an)=x+a1x+anx+a1an－a1x－x－anx=a1an

例9：甲乙丙三种商品，若买甲4件，乙5件，丙2件，共用69元。若买甲5件、乙6件、丙1件，共用84元。问买甲2件、乙3件、丙4件，共用多少元。

解设：买甲、乙、丙各1件分别用x、y、z元，则依题意，得：

?4x?5y?2z?69 ??5x?6y?z?84如果按常规方法分别求出x、y、z要用到求不定方程的方法，过程较繁，若从整体着想，题目是求由x、y、z拼成的整体(2x+3y+4z)，进而转化成解关于“整体”的二元一次方程组，而不必先求出x、y、z的每一个值。

将原方程组变形为

?(2x?3y?4z)?2(x?y?z)?69 ??(2x?3y?4z)?3(x?y?z)?84解关于（2x+3y+4z）与（x+y－z）的方程组，得2x+3y+4z=39 6、转化思想

转化思想是一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想方法。通常有“未知”向“已知”转化，复杂简单转化，一般与特殊的转化和由此及彼的不同数学问题之间的转化。体现上述转化思想的有待定系数法、消元法、降次法、换元法、配方法、几何问题的代数法或三角法等等。

例10：已知

a?bb?cc?a??求32a+35b+27c的值。

3(a?b)4(b?c)5(c?a)

a?bb?cc?a???k

3(a?b)4(b?c)5(c?a)?a?b?3k(a?b) (1)?(2) 则?b?c?4k(b-c) ?c?a-5k(c-a) (3)?解：设

(1) 20+(2)15+(3)12得

32a+35b+27c=60k(a－b+b－c+c－a)=0

此题利用参数可以将已知与未知沟通起来，从而使例11：如图，在四边形ABCD中， AB=2，BC=3?1,CD?2,∠B=60°， ∠C=75°，求AC的长及四边形ABCD 的面积。

解作AE⊥BC于E,由∠B=60°,AB=2,得

AE=2sin60°=3，BE=2cos60°=1 而BC=3+1，那么CE=3

∴AE=CE，易得AC=2，AE=6，∠ACE=45°， 而∠DCB=75°，从而知∠DCA=30° 作DF⊥AC于F，易得

问题获解。

3 21211∴?6???(3?1)?3?(3?23) 2222DF=CD2sin30°－

2sin30°=

本题将斜三角形通过作辅助线转化为直角三角形，再解直角三角形即可求得结论。

中学数学教材中所蕴含的数学思想还很多，学生数学思想的形成是一个潜移默化的过程，是在多次理解和应用的基础上形成的。这就要求我们认真钻研教材，渗透数学思想的教学，并创设情景，加强应用数学思想的解题训练。此外，数学思想之间也并不是彼此孤立，而是互相渗透、互相促进的，一个问题的解决，常常不只是靠一种数学思想的作用，有时必须借助于几种数学思想的共同指导。上面的例题也已经说明了这一点。因此，我们在教学中还必须有意识地抛出一些较为结合的问题，让学生灵活地应用其所学的数学思想来解决，以培养其分析问题和解决问题的能力。

初一学生数学解题误区之我见

秀屿区大丘中学 王梅清

初一学生在学习数学过程中，错误的出现是不可避免的。因此，对错误进行系统的分析是非常重要的：首先教师可以通过错误来发现学生的不足，从而采取相应的补救措施；其次，错误从一个特定的角度揭示了