复合材料力学2-5章(4)

这一关系式是普遍适用的，等式左端是新轴应力，右端是旧轴应力，从旧轴到新轴时，?角反时针旋转代入正值，顺时针旋转代入负值。

为什么要进行应力转换，因为，强度准则是用主轴应力表示的，在偏轴情况下，不同方向有不同的强度值。

??x??m2n2?2mn???1???????22m2mn???2???y???n????mn?mnm2?n2???? ?xy????12?

§3-3 应变转换

应变量和位移量一样，是一个几何量，两个不同的坐标系之间的应变转换是一种几何关系转换，与材料的力学性质无关。由讲义中图（3-3）的几何投影关系不难求出。所以，我们只给出结果

2n2mn???x???1??m??????22m?mn???y???2???n?????2mn2mnm2?n2???? (3-28) ?12????xy?

在（3-15）和（3-28）式中，转换系数矩阵元素都是m、n的幂函数，所以称为幂函数形式的转换公式。

若已知正轴应变，需要求解偏轴应变，公式为

??x??m2n2?mn???1???????22mmn???2???y???n????2mn?2mnm2?n2???? ?xy????12?第四章 单向层合板的偏轴刚度

通常单层板或由单层板组成的层合板的普遍受载情况是外载荷与主轴方向不一致，即所谓的偏轴受载情况。于是就有所谓的偏轴应力、偏轴应变。本章目的是要推出偏轴应力与偏轴应变之间的关系，实际上就是其系数矩阵——即偏轴刚度（模量）和偏轴柔度（柔量）的转换。

§4-1 偏轴模量

? 偏轴用力——应变关系 推导步骤如图所示

偏轴应变 正轴应变 正轴应力 偏轴应力

1、 由?x??1，应变正转换：

?1?m2?x?n2?y?mn?xy

22 ?2?n?x?m?y?mn?xy

22??(???)2mn?(m?n)?xy 12yx2、由正轴???关系式（2-19）得;

??1?Q11?1?Q12?2??2?Q21?1?Q22?2? ???Q?126612?3、用应力负转换（即把?代入3-15式）得：

?x?m2?1?n2?2?2mn?12

?m2n2?2mn???2mn? ?y?n2?1?m2?2?2mn?12 ?n2m2?mn?mnm2?n2????xy?mn(?1??2)?(m2?n2)?12

把前两组式子代入第三组，以?x为例：

?x?m2(Q11?1?Q12?2)?n2(Q21?1?Q22?2)?2mnQ66?12

?(m2Q11?n2Q12)(m2?x?n2?y?mn?xy) ?(m2Q12?n2Q22)(n2?x?m2?y?mn?xy)

22???2mnQ????2mn?(m?n)?xy 66yx???m4Q11?2m2n2Q12?n4Q22?4m2n2Q66?x

?????m2n2Q11?(m4?n4)Q12?m2n2Q22?4m2n2Q66?y

?m3nQ11?mn3Q12?m3nQ12?mn3Q22?2mn(m2?n2)Q66?xy

????如果把上式中?x、?y和?xy的系数分别令为Q11、Q12 及 Q16，则上

式变成：

?x?Q11?x?Q12?y?Q16?xy

同理可得：?y

?Q21?x?Q22?y?Q26?xy （4-9）

?xy?Q61?x?Q62?y?Q66?xy

??x??Q11Q12?????y???Q21Q22????Q?xy??61Q62Q16???x????Q26???y? ??Q66????xy?这就是偏轴的应力—应变关系式，式中Qij（i?j?1,2,6)称为偏轴模量或偏轴刚度。 ? 模量转换式

由上面?x的具体表达式可以得知：

Q11?m4Q11?n4Q22?2m2n2Q12?4m2n2Q66 Q12?m2n2(Q11?Q22)?(m4?n2)Q12?4m2n2Q66 Q16?m3nQ11?mn3Q22?(mn3?m3n)Q12?2(mn3?m3n)Q66

同样，由?y的具体表达式可得出：

Q21?Q12

Q22?n4Q11?m4Q22?2m2n2Q12?4m2n2Q66

Q26?mn3Q11?m3nQ22?(m3n?mn3)Q12?(m3n?mn3)Q66

由?xy的具体表达式可得：Q61?Q16 Q62?Q26 Q66?m2n2Q11?m2n2Q22?2m2n2Q12?(m2?n2)Q66 可按P36页（4-10）式写成矩阵形式

?Q?ij6?1???m,n??6?4Qij??4?1

（4-10）

s， 上式中 m?co?时针为正。

n?sin? ?仍为x轴与1轴间的夹角，反

? 倍角函数形式的模量转换

根据三角函数理论有（m4?cos4?可化成倍角函数表示的形式），即

m4?cos4??1?3?4cos2??cos4?? （4-11） 8同理，m3n、mn3、m2n2、n4均可化为cos2?、cos4?、sin2?、sin4?表示的形式见书（4-11）式，将这些倍角函数代入（4-10）式化简可把Qij用倍角三角函数来表示，其矩阵形式为：

?U1?Q11?????U1?Q22??U4?Q12??????U5?Q66???Q??O?16????Q26???O?cos2??cos2?OO1sin2?21sin2?2cos4???1??cos4?????cos4???????U2???cos4?????? （4-13）

sin4?????????U3???sin4????181 U2?(Q11?Q22)

21 U3?(Q11?Q22?2Q12?4Q66) （4-14）

81U4?(Q11?Q22?6Q12?4Q66)

81U5?(Q11?Q22?2Q12?4Q66)

8其中 U1?(3Q11?3Q22?2Q12?4Q66)