复合材料力学2-5章(11)

令各系数为：F11、F12、F22、F66、F16、F26、F1、F2、F6。 则上式可写成：

222 F11?1?2F12?1?2?F22?2?F66?6?2F16?1?6?2F26?2?6

?F1?1?F2?2?F6?6?1 那么这些系数可写成矩阵形式：

?F11??m4???4?F22??n?F12??m2n2????22?F66??4mn?F??2m3n?16??3??F26????2mn??F11????m42m2n2m2n2??F22?m2n2m4?n4?m2n2??????

4m2n2?8m2n2(m2?n2)2???2mn32(mn3?m3n)mn3?m3n??F12????33333?2mn2(mn?mn)mn?mn??F66????n42m2n2m2n2（5-48）

?F1??m2n2??F1????22??F?nm ??? （5-49） ??2????F6??2mn?2mn???????F2?说明：a. 形式与正轴情况一样，只是F16?0、F26?0、F6?0。 b. Fij~Fij之间的系数矩阵同柔量转换矩阵（4-25）完全一样所以这一转换相当于柔量转换。 c. 增加了矩阵形式（5-49） 倍角函数转换：

在柔量转换中有两种形式，除幂函数形式外，还有倍角函数形式，那么（5-48）式也同样可用倍角函数来表示。

?F11??U1(F)???(F)?F22??U1(F)?F12??U4 ????(F)?F66??U5?F??0?16????F26????0?cos2??cos2?00sin2?sin2?cos4???I????cos4????(F)cos4???U2???? （5-50）

?4cos4?????2sin4?????(F)??2sin4???U3????(F)??F1??1cos2???P12??????F?1?2cos2?? （5-51） ?2?????q(F)??F6???02sin2??????12?说明：式（5-50）中的Ui(F) (i?1,2,3,4,5)表达式与柔量转换时用的Ui 相同，只是要求把P（4-27）中的Sij换成Fij。 2. 应变空间表达式

同样，可使用偏轴应变代入应变空间失效判据，这时Gij~Gij的转换同模量Qij~Qij转换。

?G11??m4???4?G22??n?G12??m2n2????22?G66??mn?G??m3n?16??3??mn?G26?????G11????m42m2n24m2n2??G22?m2n2m4?n4?4m2n2???? （5-52） 2222222??mn?2mn(m?n)????mn3mn3?m3n2(mn3?m3n)??G12????33333?mnmn?mn2(mn?mn)??G66????n42m2n24m2n2

?G1??m2n2??G1???2?2??G?nm ???? （5-53） ?2????G6??mn?mn???????G2?同样，也有倍角转换形式：

?U1(G)?G11??(G)???U1?G22??U(G)?G12??4(G)????U5?G66???G??0?16????G26???0??cos2??cos2?001sin2?21sin2?2cos4????I?cos4?????cos4???(G)???U2??4cos4???? （5-54）

???sin4??????(G)??U3???sin4????当然，Ui(G)与模量式转换中的Ui表达式相同，只是把Qij换成Gij即可。

例题1： 试用Tsai-Wu判据求解碳/环氧单层板材料在??450偏轴下

的拉、压强度。

解; ?1?0 , ?2??6?0?F11?1?Fx?x?1 m?cos450?22 n?sin450? 22F11?m4F11?n4F22?2m2n2F12?m2n2F66

1(1.129?370.7?2?10.23?500.5)?217.97(GPa)?2 41F1?m2F1?n2F2?(?0.387?26.17)?12.89(GPa)?1

2?代入判据式：212.97?12?12.89?1?1?0 代入?1解得：

44.65?0.04465?12.89?12.892?4?212.97?1?(GPa)??GPa?MPa

?105.22?212.97??0.105 即材料在??450偏轴下受载时：

拉伸强度为44.65MPa，压缩强度为105.2MPa

例题2 试求由Tsai-Wu判据求出碳/环氧材料在??450偏轴下的剪切

强度。

解： ?1??2?0 ?6?0

? 判据为： F66?62?F6?62?1

由表5-3得：F66?4m2n2F11????392.3(GPa)?2 F6??26.56(GPa)?1

?392.3?62?26.56?6?1?0

解得：?6???0.09464?94.64Gpa??Gpa

??0.02693?26.93即正剪切时强度为94.64MPa，负剪切时强度为?26.93MPa

注：如何依据纤维方向，画受力后单层板的变形图？

§5-4 强度比

失效判据能方便地进行强度核算，代入即可，但在确定单向板的极限应力时就存在一定的困难，这是因为在一般情况下，单向板上有三个应力（?1,?2,?12)同时作用，要通过一个判据来解出这三个应力极限值不可能（Tsai-Hill,Tsai-Wu）

为解决这个问题，引入“强度比”概念，在一定假设条件下，利用这一参数就可解决极限应力问题。 ? 强度比 1. 强度比定义：

在所作用的应力下，极限应力的某一分量与其对应的作用应力分 量的比值。用R表示，则有;

?i(a)R??i （i=1、2、6） (5-56)

式中：?i——作用的应力分量， ?i(a)——对应于?i的极限应力分量。 2. 假设条件：

对于任一个作用的应力状态，各应力分量以确定的比例逐步增 加，直至失效。于是(5-56)式可进一步写成;

R??1(a)?2(a)?6(a) (5-58) ???1?2?6各应力分量与载荷的关系

3. R的特点

A、R?1时，表示失效，它的具体数值是板的安全余度的一种度量，例如:R?2,表示该板还有一倍的强度余量，还可再加一倍的应力，板便失效。

B、R不能小于1.

? 各种失效判据的强度比方程; 1. Tsai-Wu判据

由强度比方程可得： ?i(a)?R?i (i?1,2,6)

那么把强度值?i(a)代入判据等式右边应该等于1，即应该满足失效判据，所以有:

Fij?i(a)?j(a)?Fi?i(a)?1

2F(??)R?Fi?iR?1?0 代入?i(a)有： ijij上式中：Fij，Fi是与材料有关的强度参数，是已知的。

?i （i?1,2,6）是我们计算时的外力作用时的应力值，也已知。