立体几何知识点复习(7)

【解析】（1）要证平面ADE?平面BCC1B1，只要证平面ADE上的AD?平面BCC1B1即可。它可由已知ABC?A1B1C1是直三棱柱和AD?DE证得。

（2）要证直线A1F//平面ADE，只要证A1F∥平面ADE上的AD即可。 32.【2012高考真题北京理16】（本小题共14分）

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.

(I)求证：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

【答案】解：（1）?CD?DE，A1E?DE

?DE?平面A1CD，

又?AC?平面A1CD， 1?DE ?AC1又A1C?CD， ?平面BCDE。 ?AC1（2）如图建系C?xyz，则D??2，0，0?，A0，0，23，B?0，3，0?，E??2，2，0?

???????????∴A1B?0，3，?23,A1E???2，?1，0?

???设平面A1BE法向量为n??x，y，z?

则

???????A1B?n?0 ∴?????????A1E?n?0?3y?23z?0? ??2x?y?0??zA1 (0,0,23)ME (-2,2,0)yB (0,3,0)?3z?y??2∴?

y?x????2?n∴??1，2，3

D (-2,0,0)C (0,0,0)x??又∵M?1，0，3 ?????∴CM??1，0，3

??????????CM?n1?342?????∴cos??????

2|CM|?|n|1?4?3?1?32?22，

∴CM与平面A1BE所成角的大小45?。

3

3.【2012高考真题浙江理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

【答案】(Ⅰ)如图连接BD． ∵M，N分别为PB，PD的中点， ∴在?PBD中，MN∥BD． 又MN?平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD； (Ⅱ)如图建系：

A(0，0，0)，P(0，0，26)，M(?N(3，0，0)，C(3，3，0)．

33，，0)， 22设Q(x，y，z)，则CQ?(x?3，y?3，z)，CP?(?3，?3，26)． ∵CQ??CP?(?3?，?3?，26?)，∴Q(3?3?，3?3?，26?)． ????????由OQ?CP????????1

?OQ?CP?0，得：??．

3

????????????????即：Q(2326，2，)． 33

40.【2012高考真题湖南理18】（本小题满分12分）

如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

由PA?平面ABCD知，?PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.

AB?4,AG?2,BG?AF,由题意，知?PBA??BPF,

因为sin?PBA?PABF,sin?BPF?,所以PA?BF. PBPB由?DAB??ABC?90?知，AD//BC,又BG//CD,所以四边形BCDG是平行四边形，故GD?BC?3.于是AG?2.

在RtΔBAG中，AB?4,AG?2,BG?AF,所以

AB21685BG?AB?AG?25,BF???.

BG25522于是PA?BF?85. 51?(5?3)?4?16,所以四棱锥P?ABCD的体积为 2又梯形ABCD的面积为S? V?

11851285?S?PA??16??. 33515