立体几何知识点复习

【知识络构建】

【重点知识整合】 1．空间几何体的三视图

(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； (2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； (3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图． 2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)． 3.体积与表面积公式:

(1)柱体的体积公式:V柱?Sh;锥体的体积公式: V锥?台体的体积公式: V棱台?1Sh; 341h(S?SS??S?);球的体积公式: V球??r3.

332 (2)球的表面积公式: S球?4?R.

【高频考点突破】

考点一 空间几何体与三视图

1．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的

下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．

2．画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴 平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半．

例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 ( )

解析：如图所示，点D1的投影为点C1，点D的投影为点C，点A的投影为点B.

答案：D

【方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体．解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系．抓住“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点作出判断.

考点二 空间几何体的表面积和体积

常见的一些简单几何体的表面积和体积公式：

圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)(其中r为底面半径，l为圆柱的高)； 圆锥的表面积公式：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)(其中r为底面半径，l为母线长)； 圆台的表面积公式：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(其中r和r′分别为圆台的上、下底面半径，l

为母线长)；

柱体的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 1

锥体的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高)；

3

1

台体的体积公式：V＝(S′＋S′S＋S)h(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)；

34

球的表面积和体积公式：S＝4πR2，V＝πR3(R为球的半径)．

3

例 2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

( )

A．63

B．93 D．183

C．123

解析：由三视图可还原几何体的直观图如图所示．此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3，高为3的长方体，所求体积V＝3×3×3＝93.

答案：B 【方法技巧】

1．求三棱锥体积时，可多角度地选择方法．如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法．

2．与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平

面图形，不要弄错相关数量．

3．求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．

4．对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理. 考点三 球与空间几何体的“切”“接”问题

1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． 2．正方体的内切球其棱长为球的直径．

3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

例3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．

【方法技巧】1．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题．

2．若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2(R为球半径)．可采用“补形”法，构造长方体或正方体的外接球

去处理．

考点四 空间线线、线面位置关系

(1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)线面垂直的判定定理：

m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (4)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.

例4、如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是 棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE∥平面BCP； (2)求证：四边形DEFG为矩形；

(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由． 解：(1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点， 所以DE∥PC.

又因为DE?平面BCP， 所以DE∥平面BCP.

(2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF. 所以四边形DEFG为平行四边形． 又因为PC⊥AB， 所以DE⊥DG.

所以四边形DEFG为矩形．