立体几何知识点复习(10)

pDaCA2aB

(Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

8．(2011年高考湖南卷理科19)（本小题满分12分）

如图5，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径AB?2,C是?AB的中点，D为AC的中点．

（Ⅰ）证明：平面POD ?平面PAC; （Ⅱ）求二面角B?PA?C的余弦值.

解法1：连结OC，因为OA?OC,D是AC的中点,所以AC?OD.

又PO?底面⊙O，AC?底面⊙O，所以AC?PO，

因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC?平面POD， 而AC?平面PAC，所以平面POD?平面PAC。

（II）在平面POD中，过O作OH?PD于H，由（I）知，

平面POD?平面PAC,所以OH?平面PAC，又PA?面PAC，所以PA?OH. 在平面PAO中，过O作

OG?PA于G，连接HG，

则有PA?平面OGH，从而PA?HG，故?OGH为二面角B—PA—C的平面角。 在Rt?ODA中,OD?OA?sin45??2. 22?22?10.

512?2在Rt?POD中,OH?PO?ODPO?OD22?在Rt?POA中,OG?PO?OAPO2?OA2?2?16?. 32?1

10OH15?5?. 在Rt?OHG中,sin?OGH?OG563所以cos?OGH?1?sin?OGH?1?21510?.故二面角B—PA—C的余255弦值为

10. 5

所以z1?0,x1?y1,取y1?1,得n1?(1,1,0).设n2?(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量，

???????????x2?2z2?0,则由n2?PA?0,n2?PC?0，得?

??y2?2z2?0.所以x2??2z2,y2?2z2.取z2?1,得n2?(?2,2,1)。 因为n1?n2?(1,1,0)?(?2,2,1)?0,

9. (2011年高考广东卷理科18)如图5，在椎体P?ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且?DAB?60,PA?PD?2,PB?2,E,F分别是BC,PC的中点，

（1） 证明：AD?平面DEF （2）求二面角P?AD?B的余弦值。

【解析】法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。

因PA=PD，有PG?AD，在?ABD中，AB?AD?1,?DAB?60?，有?ABD为等边三角形，因此BG?AD,BG?PG?G，所以AD?平面PBG?AD?PB,AD?GB.

又PB//EF，得AD?EF，而DE//GB得AD ?DE，又FE?DE?E，所以AD ?平面DEF。

0

（2）?PG?AD,BG?AD，

??PGB为二面角P—AD—B的平面角，

在Rt?PAG中,PG?PA?AG?2227 4在Rt?ABG中,BG=AB?sin60?=3 2273??4PG?BG?PB2144 ?cos?PGB????2PG?BG7732??2222