立体几何知识点复习(6)

24.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.

【答案】

6 3【解析】如图

设AA1?a,AB?b,AC?c,设棱长为1，

则AB1?a?b,BC1?a?BC?a?c-b，因为底面边长和侧棱长都相等，且

0?BAA1??CAA1?60所以a?b?a?c?b?c?1，所以AB1?(a?b)2?3，2BC1?(a?c-b)2?2 ，AB1?BC1?(a?b)?(a?c-b)?2，设异面直线的夹角

为?，所以cos??AB1?BC1AB1BC1?22?3?6. 3三、解答题

27.【2012高考真题湖北理19】（本小题满分12分）

如图1，?ACB?45?，BC?3，过动点A作AD?BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿

． AD将△ABD折起，使?BDC?90?（如图2所示）

（Ⅰ）当BD的长为多少时，三棱锥A?BCD的体积最大；

（Ⅱ）当三棱锥A?BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在 棱CD上确定一点N，使得EN?BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

A

B

D 图1

第19题图

C

B

A M D . ·E

C

图2

解法2：

1111同解法1，得VA?BCD?AD?S?BCD?(3?x)?x(3?x)?(x3?6x2?9x)．

332611令f(x)?(x3?6x2?9x)，由f?(x)?(x?1)x(?62且0?x?3，解得3?)，0x?1．

[Z,xx,k.Com]

当x?(0,1)时，f?(x)?0；当x?(1,3)时，f?(x)?0． 所以当x?1时，f(x)取得最大值．

故当BD?1时, 三棱锥A?BCD的体积最大．

z A M A M

D N B x E 图a

C y B

D N E 图b

F C M D N F E

C

G H

N E B 图c

P

B 图d

第19题解答图

故EN与平面BMN所成角的大小为60?. 解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥A?BCD的体积最大时，BD?1，AD?CD?2．

如图b，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MF∥AD. 由（Ⅰ）知AD?平面BCD，所以MF?平面BCD.

如图c，延长FE至P点使得FP?DB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形， 所以DP?BF. 取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则EN∥DP， 所以EN?BF. 因为MF?平面BCD，又EN?面BCD，所以MF?EN. 又MF?BF?F，所以EN?面BMF. 又BM?面BMF，所以EN?BM. 因为EN?BM当且仅当EN?BF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的. 即当DN?1（即N是CD的靠近点D的一个四等分点），EN?BM． 25， 2连接MN，ME，由计算得NB?NM?EB?EM?所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d所示，取BM的中点G，连接EG，NG，

则BM?平面EGN．在平面EGN中，过点E作EH?GN于H， 则EH?平面BMN．故?ENH是EN与平面BMN所成的角． 在△EGN中，易得EG?GN?NE?2，所以△EGN是正三角形， 2故?ENH?60?，即EN与平面BMN所成角的大小为60?. 28.【2012高考真题新课标理19】（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?1AA1， 2D是棱AA1的中点，DC1?BD（1）证明：DC1?BC

（2）求二面角A1?BD?C1的大小.

E分29.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB11?AC11，D，F为B1C1的中点． CC1上的点（点D 不同于点C）别是棱BC，，且AD?DE，求证：（1）平面ADE?平面BCC1B1； （2）直线A1F//平面ADE．