立体几何知识点复习(2)

(3)存在点Q满足条件，理由如下： 连接DF，EG，设Q为EG的中点． 由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE 1

＝QF＝QG＝EG.

2

分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.

1

与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝

2EG，

所以Q为满足条件的点． 【方法技巧】

1．证明线线平行常用的两种方法： (1)构造平行四边形； (2)构造三角形的中位线． 2．证明线面平行常用的两种方法： (1)转化为线线平行； (2)转化为面面平行．

3．证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直．而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平面垂直.

考点五 空间面面位置关系

1．面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. 2．面面垂直的性质定理： α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 3．面面平行的判定定理：

a?β，b?β，a∩b＝A，a∥α，b∥α?α∥β. 4．面面平行的性质定理： α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 5．面面平行的证明还有其它方法：

?1?a、b?α且a∩b＝A? c、d?β且c∩d＝B a∥c，b∥d

?

??α∥β， ??

(2)a⊥α、a⊥β ?α∥β.

例5、如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.

【证明】(1)如图，在△PAD中， 因为E，F分别为AP，AD的中点，

【方法技巧】

1．垂直问题的转化方向

面面垂直?线面垂直?线线垂直．主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明．具体如下：

(1)证明线线垂直：①线线垂直的定义；②线面垂直的定义；③勾股定理等平面几何中的有关定理．

(2)证明线面垂直：①线面垂直的判定定理；②线面垂直的性质定理；③面面垂直的性质定理．

(3)证明面面垂直：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．

2．证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面.

例6、如图，平面 PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为 PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.

(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE； (2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.

【证明】

(1)如图，连接OP，以点O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．

【方法技巧】

1．用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了．把几何问题代数化．尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷．但是向量法要求计算必须准确无误．

2．利用向量法的关键是正确求平面的法向量．赋值时注意其灵活性．注意(0,0,0)不能作为法向量.

考点七 利用空间向量求角 1．向量法求异面直线所成的角：

若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b|

. |a||b|

2．向量法求线面所成的角：

求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉

|＝

|n·a|

. |n||a|

3．向量法求二面角：

求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角

θ为锐角，

则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝

|n1·n2|

； |n1||n2|

若二面角α－l－β所成的角θ为钝角， |n1·n2|

则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－. |n1||n2|

例7、如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形， AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值； (3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

(3)由(2)知

＝(－1，3，0)