立体几何知识点复习(3)

设P(0，－3，t)(t＞0)， 则

＝(－1，－3，t)，

设平面PBC的一个法向量m＝(x，y，z)，

考点八 利用空间向量解决探索性问题

利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．

例8、如图，在三棱锥 P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点， PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．

已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC；

(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.

x＝0，??12＋3λ即?可取n1＝(0,1，)． 2＋3λ

4－4λz＝y，??14－4λ1

2

??

由???

·n2＝0，

·n2＝0，5x2＝y2，

4

2

??3y2＋4z2＝0，即? ?－4x2＋5y2＝0，?

?

得?3

z＝－y，?4

可取n2＝(5,4，－3)．

2＋3λ

由n1·n2＝0，得4－3·＝0，

4－4λ2

解得λ＝，故AM＝3.

5

综上所述，存在点M符合题意，AM＝3. 【难点探究】

难点一 空间几何体的表面积和体积

例1、（1）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．48 B．32＋817 C．48＋817 D．80

(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

99

A．π＋12 B．π＋18

22C．9π＋42 D．36π＋18 【答案】（1）C (2)B

【解析】 (1)由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图1

所示)，所以该直四棱柱的表面积为S＝2××(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.

2

(2)由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3、3?349

高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V＝V1＋V2＝×π×?＋3×3×2＝π＋18，故?2?32选B.

难点二 球与多面体

例 2、已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为( )

A．33 B．23 C.3 D．1

【解题规律与技巧】

1．真实图形中和两坐标轴平行的线段在直观图中仍然和两坐标轴平行，在真实图形中与x轴平行的线段在直观图中长度不变，在真实图形中和y轴平行的线段在直观图中变为原来的一半．这种画法蕴含着一个一般的规律，在斜二测画法中，真实图形的面积和直观图的面积之比是22.

2．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分“是侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．

3．实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，往往是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”，将组合体“分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积”，然后根据组合体的结构，将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差．

【历届高考真题】 【2012年高考试题】 一、选择题

1.【2012高考真题新课标理7】如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

(A)6 (B) 9 (C)?? (D)??

2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=2。将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直. B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直. C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.

D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直