第五章 数字控制器的离散化设计方法(7)

从图中可以看出，其幅值穿越伪频率大于0.62rad/s，应该采用滞后校正器降低系统的幅值穿越伪频率。

当v?vGC时，系统的相角???138?，而?180??PM?5???140?，所以选择的幅值穿越伪频率vGC满足要求。

⑤ v0?0.1vGC?0.062rad/s ⑥ vp?v00.062??0.011rad/s。

kcGc(jvGC)5.62⑦ w域的数字控制器的传递函数为：

wvo16.1w?1D(w)?kc?2

w90.9w?11?vp1?⑧ 数字控制器的脉冲传递函数为：

1?0.94z?1D(z)?0.37 ?11?0.99z⑨ 对应的差分方程为：

u(k)?0.99u(k?1)?0.37e(k)?0.34e(k?1)

5.4.5 串联相位超前校正器的w变换法设计

1、 根据系统的截止频率?b，选择采样周期T和幅值穿越伪频率vGC。 2、 系统开环增益所需的放大系数kc。 3、 设

vpv0??，确定?的值。

求出G(w)，画出系统开环增益放大kc倍后的Bode图20lgkcGc(jv)。 因为D(w)的两个转折频率的几何中心点频率vm?vGC，所以

20lgD(jvGC)?20lgkcGc(jvGC)?0db

设20lgkcGc(jvGC)??Adb，vm?v0vp，代入上式，得：

10lgA10vpv0?10lg??Adb

因此??10。

4、 计算零极点。

vm?vGC?v0vp??v0

1?v?vGC?0?由此得： ?

?v??vGC?p5、 检验校正后系统的相位裕量。

PM?180??arcsin??1??Gc(jvGC) ??16、 求出w域内数字控制器的传递函数。

wv0D(w)?kc

w1?vp1?7、 利用双线性变换法求出数字控制器的脉冲传递函数。

D(z)?D(w)w?2z?1Tz?1

8、 求出对应的差分方程，并用计算机实现。 例5-7设被控对象的传递函数Gc(s)?满足下列性能指标。

① 系统的速度增益kv?1 ② 截止频率?b?1.5rad/s ③ 相位裕量PM≥60°

解：① 根据前面的分析，取?b??GC?1.5rad/s，采样周期T满足

0.5，采用频域法设计数字控制器，

s(s?1)?? ?T?10?b5?b即 0.21?T?0.42

可以选择T?0.4s，幅值穿越伪频率为 VGC?2Ttg(?GC)?1.55rad/s。 T2② 原系统的开环速度增益k0?limsGc(s)?0.5，所以系统开环增益所需的放

s?0大系数kc?2。

③ 系统广义被控对象的脉冲传递函数为：

0.035z?1(1?0.876z?1)G(z)?Z?H(s)Gc(s)?? ?1?1(1?z)(1?0.67z)用双线性变换法，求出w域的传递函数为：

0.5(?G(w)?ww?1)(?1)575.2 ww(?1)0.99④ 令w?jv，系统开环增益放大kc倍后的幅频特性曲线20lgkcGc(jv)如图5.10所示。 db

20

0

-20 -40 0.99 1 5 -20 图5.10 kcGc(jv)的幅频特性曲线 75.2 v 由图知，其幅值穿越伪频率vGC?1rad/s，小于1.55rad/s，此时系统的相位裕量PM=16.4°小于60°，应该采用超前校正器增大系统的幅值穿越伪频率。

⑤ 确定α的值。

当vGC?1.55rad/s时，20lgkcGc(jvGC)??8.8db

即 A??8.8 所以??10A10?7.6

⑥ 计算零极点。

1?v?vGC?0.56rad/s?0? ?

?v??v?4.27rad/sGC?p⑦ 校正后系统的相位裕量为：

PM?180??50??163.6??66.4??60?，满足指标要求。

⑧ 相位超前校正器的w传递函数为：

w0.56?21.78w?1 D(w)?2w0.23w?11?4.271?相位超前校正器的脉冲传递函数为：

D(z)?D(w)w?2z?1Tz?11?0.8z?1?9.1 ?11?0.08z⑨ 其对应的差分方程为：

u(k)?0.08u(k?1)?9.1e(k)?7.28e(k?1)

5.5 纯滞后对象的控制算法—大林算法

在实际应用中，有相当一部分工业对象具有较大的纯滞后特性，纯滞后环节降低了系统的稳定性，增加了系统的超调量。这些系统对超调量的要求比较严格，但是允许系统的调节时间比较长，也就是说，它并不需要系统在最少拍内达到稳态，超调量是其主要的设计目标。前面介绍的最少拍系统的设计方法只适用于某些随动系统的设计，对纯滞后对象并不理想。当被控对象的模型不精确或其参数随时间漂移时，要求系统在最少拍达到稳态，不但不能达到预期效果，而且会产生较大的超调，甚至振荡。采用PID控制，其效果也不太理想。

1968年IBM公司的大林针对纯滞后的工业对象提出了大林算法，取得了比较好的控制效果。下面就介绍用大林算法为具有纯滞后特性的被控对象设计数字控制器，以降低系统的超调量。

5.5.1 大林算法的设计原则及数字控制器的形式

假设被控对象为带纯滞后的一阶或二阶惯性环节，这也代表了相当一部分工业被控对象，比如电阻炉温度控制系统中，利用飞升曲线法，测出电阻炉温系统模型为带纯滞后的一阶惯性环节。带纯滞后的被控对象的传递函数可以写为：

ke??sGc(s)? （5-31）

T1s?1ke??s或 Gc(s)? （5-32）

(T1s?1)(T2s?1)其中τ是被控对象的滞后时间常数，一般情况下，它是采样周期的整数倍；T1、T2是对象的时间常数；k是放大系数。

大林算法适用于被控对象是具有纯滞后的一阶或二阶惯性稳定环节，设计原则是以大林算法为模型设计数字控制器，使整个闭环系统的传递函数相当于一个带纯滞后的一阶惯性环节，即：

e??s?(s)? （5-33）

T?s?1其中τ是滞后时间常数，与被控对象的滞后时间相同，是采样周期的整数倍；T?是闭

环系统的时间常数，由系统的快速性指标决定，是一个十分重要的设计参数。

从上式可以看出，其闭环脉冲传递函数的比例系数为1，当系统达到稳态时，输出等于输入，系统不存在静差；闭环系统的滞后时间与被控对象的滞后时间相同，而且把纯滞后环节移到闭环回路之外，不影响系统的稳定性，消除了纯滞后部分对系统的影响。

下面在Z域内用大林算法设计数字控制器，通常认为对象与一个零阶保持器相串联，整个闭环系统的脉冲传递函数为：

C(z)1?e??r?1?(z)??Z?H(s)?(s)??z （5-34） T/T??1?R(z)1?ez式中r?T/T??T，取正整数；T是系统的采样周期。

T/T?因此数字控制器的脉冲传递函数为：

1?(z)1(1?e?)z?r?1D(z)???? （5-35） T/T??1T/T????r?1G(z)1??(z)G(z)1?ez?(1?e)z1、当被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节时

G(z)?Z?H(s)Gc(s)??kz代入式（5-35），得：

?r?11?e?1?eT/T1?T/T1z?1

D(z)?(1?e?k(1?e?r?1?T/T1T/T?)1?e?)(1?e?z?1T/T1z?1)?T/T??T/T??(1?e)z?r?1? （5-36）

2、当被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节时

G(z)?kz式中：

c1?c2z?1(1?e?T/T1z)(1?e?1?T/T2z)?1