第五章 数字控制器的离散化设计方法(5)

E(z)??e(z)R(z)?(1?z?1)2(1?0.592z?1)1?1?2 ?1?0.408z?0.592z?11?z经过三拍以后，系统的输出能准确跟踪输入，稳态误差为零，超调量增大，为59%。 数字控制器输出的控制量为：

0.382(1?0.368z?1)(1?0.587z?1)U(z)?D(z)E(z)?(1?0.408z?1?0.592z?2)?1?1(1?z)(1?0.592z) ?0.382?0.365z?0.0826z

经过三拍以后，控制量收敛于常数零，系统输出在采样点之间无纹波。

与例5-2相比，对于相同的输入信号，最少拍无纹波系统比最少拍无差系统的调节时间延长了一拍，所多拍数就是G(z)在单位圆内的零点数。当输入信号的类型改变后，只要满足无纹波设计的必要条件，系统仍然是无纹波的系统，适应性比最少拍无差系统要好，但是超调量增大，控制质量下降，表明最少拍无纹波系统对参数仍然比较敏感。

?1?25.4 数字控制器的频域设计法

在线性定常连续系统的分析和设计中，系统的稳定边界是s平面的虚轴，稳定区域是s平面的开左半平面，系统闭环传递函数的极点或特征方程的根在s的左半平面。线性定常离散系统的稳定边界是z平面中以原点为圆心的单位圆周，稳定区域是z平面中的单位圆的内部区域。如果能找到一种变换，把z平面中以原点为圆心的单位圆周映射到某一复平面的虚轴，把单位圆内部区域映射到该复平面的开左半平面，那么我们就可以基于系统的性能指标，用类似连续系统的频域设计法来直接研究离散控制系统，设计出数字控制器，这就是数字控制器的频域设计法。这种方法比较简单、而且应用方便，特别是可以把对控制系统的性能要求转变为对频率特性的要求，使得采用频域法设计的系统一般都能满足系统的要求，因此频域设计法是数字控制系统设计中一种常用且强有力的方法。

5.4.1 w变换

采用频域法设计数字控制器，必须找到一种变换，把z平面中以原点为圆心的单位圆周映射到某一复平面的虚轴，把单位圆内部区域映射到该复平面的开左半平面， s平面到z平面再到该复平面的映射关系如图5.3所示。

s平面z平面 未知平面 -1 1 图5.3 s平面、z平面、复平面之间的映射关系

Tw2z?12，z平面的点与w平面的点一一利用双线性变换，令w?，z?TTz?11?w21?对应，下面分析w平面与z平面之间的映射关系，看看双线性变换能否满足我们的要求，w平面是不是我们寻找的复平面。

令w?u?jv，当z?1时，u?0，即z平面中以原点为圆心的单位圆内部区域映射到w平面的开左半平面；当z?1时，u?0，即z平面中以原点为圆心的单位圆周映射到w平面的虚轴；当z?1时，u?0，即z平面中以原点为圆心的单位圆外部区域映射到w平面的开右半平面。

可见，双线性变换能够满足要求，w平面就是我们所寻找的复平面。w平面与s平面有类似的对应关系，因此可以运用类似连续系统的频域设计法来设计数字控制器，实现超前校正或滞后校正。

利用双线性变换w?1z?11?Tw也可以得到类似的映射关系，同样满，z?Tz?11?Tw1lim(z?1)G(z)与w域内静态Tz?1足要求，但是此时采样系统的静态速度误差系数kv?速度误差系数kv?limwG(w)不相等，所以我们选择第一种双线性变换

w?0?Tw2z?1?2，此时kv?kv。 w?，z?TTz?11?w21?令w?u?jv，v是w平面中的频率，称为伪频率。 设s?j?，则z?eTs?ejT?，代入双线性变换，得

2z?12ejT??12Tw???jtg??u?jv jT?Tz?1Te?1T2所以 u?0，v?2Ttg?，w?jv。 T2w平面的伪频率v与s平面的频率ω之间的对应关系为：

v?2Ttg? （5-28） T21?2T?????。当???0,??s?时，

2?T2?式中T是系统的采样周期，当Tω很小时，v?Tv与频率ω之间的关系如图5.4所示。 2采样周期T?2??s，由式（5-28）得：

v?22??2??tg(?)?tg （5-29） T?s2T?s根据式（5-29）可知，当s平面的频率ω从 图5.4 伪频率v与频率ω之间的关系

11??s变化到零时，w平面的伪频率v从-∞变化到零；当ω从零变化到?s时，v22从零变化到+∞；当ω从?311?s变化到??s时，v从-∞变化到+∞；当ω从?s变222化到

3?s时，v从-∞变化到+∞。 2从上面的分析可以知道，s平面的开左半平面被分成许多宽度为?s的带域，每一

个宽度为?s的带域都可以映射为z平面中以原点为圆心的单位圆内部区域，映射到w平面的开左半平面。其中????1??1?s,??s?的带域称为主带域，其余带域称为次

2??2带域。由此可以得到三个平面之间的映射关系，如图5.5所示。

从图中可知，w平面与s平面是非常相似的，w平面的开左半平面对应了s平面的开左半平面，w平面的虚轴对应了s平面的虚轴，所不同的是s平面内，每一个宽度为?s的带域内的特性映射到了w平面的v????,???的范围。

利用w变换，将z平面变换为w平面，将z域的脉冲传递函数变换为w域的脉冲传递函数，把s域的频域设计法扩展到w域，离散时间控制系统可以采用熟悉的频

域设计法，利用相频特性和幅频特性曲线进行分析和设计。

s平面 z平面 w平面

j3ωs /2 次带域

jωs /2

主带域-1 1 -jωs /2 次带域

-j3ωs /2

图5.5 s平面、z平面、w平面之间的映射关系

5.4.2 数字控制器的频率特性

一阶控制器是最基本的控制器，它的w域传递函数为：

wvoD(w)? （5-29）

w1?vp1?vo是D(w)在w域的零点，vp是D(w)在w域的极点。

利用双线性变换，得控制器在z域的脉冲传递函数为：：

2z??(v?2)/(v?2)?vp(v0?)0?0TT????kz?z0 （5-30） TD(z)??f222?z?zp?v0(vp?)z??(vp?)/(vp?)?TTT??当v0?vp时，D(w)具有滞后相位，由此实现的校正器称为滞后校正器；当

v0?vp时，D(w)具有超前相位，由此实现的校正器称为超前校正器。

1、 相位滞后校正器

jvvo令w?jv，则 D(jv)?。

jv1?vp1?

v0?vp时，相角??arctgvv?arctg?0，它可以提供一个滞后的相角。根v0vp据极值定理，

d??0，所以其转折频率vm?v0vp，此时相位滞后校正器所提供的dvvv1?m?arctgm?arctgm?arctg滞后相角为：

v0vp2则?m?arctg图5.6所示。

从图中可以看出，当v?vp时， 其幅频特性开始下降。在高频时， 增益趋近于20lg?vp/v0?v0/vp，设

?vpv0??，

12?vp/v0?v0/vp?arcsin?db ??1?0。其相频特性和幅频特性如??120lgvpv0vp v0 lgv vpv0。相角?在

0°~ - 90°变化。 ? 相位滞后校正器适用于系统稳态误差

比较大，但响应速度不太慢的场合。相位 0° 滞后校正器中20lgvp v0 lgv vpv0?0，高频增益减

少，具有衰减特性，使系统的幅值穿越 -90° 图5.6滞后校正器相频特性和幅频特性

频率降低，因此系统的响应速度变慢，

对高频干扰的抑制能力增强，系统有稳定的趋势。但是它会提供滞后相角，减小相位裕量，容易使系统不稳定。在设计时，为了使校正器提供的滞后相角只影响相位交界频率附近的相频特性，应该使两个转折频率v0和vp很接近，而且接近原点，并且使

??10v0。?，一般取vGC校正器的零点v0远远小于校正后系统期望的幅值穿越频率vGC

滞后校正器相当于一个低通滤波器，既可以保证系统的精度 …… 此处隐藏：1816字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……