第五章 数字控制器的离散化设计方法(6)

相角??arctgvv?arctg?0，是一个超前的相角。其转折频率的几何中心点v0vpvm?v0vp，最大相角为?m?arcsin从图中可以看出，当v?v0时， 其幅频特性开始上升。在高频时， 增益趋近于20lg??1?0。 ??1db vpv020lgvpv0 v0 vp lgv 。相角?在

0°~ 90°变化。

相位超前校正器适用于系统响应速度 ? 比较慢，相对稳定性差，但增益不太低的

场合，一般不用于0型系统。相位超前校 90° 正器中20lgvpv0?0，高频段的增益增加，

lgv 0° v0 vp 系统的幅值穿越频率增大，因此系统的响

应速度加快，但是会降低系统对高频干扰 图5.7超前校正器相频特性和幅频特性 的抑制能力。超前相位可以增大相位裕量，有使系统稳定的趋势。为了改善系统的稳

?定性，设计时应该使转折频率的几何中心点vm与校正后系统期望的幅值穿越频率vGC?处提供一个最大的超前相角arcsin重合，这样校正器就可在vGC??1，增加相位裕??1量，改善系统的相对稳定性。相位超前校正器增加了系统的频带宽度，提升了系统的自然振荡频率，从而加快了响应速度。

5.4.3 数字控制器的频域法-w变换法设计步骤

离散-时间控制系统的简化方框图如图5.8所示。

图 5.8 离散-时间控制系统的简化方框图

经过上面的分析可知，通过频域设计法，从被控对象的相频特性和幅频特性出发，利用Bode图，设计w域的串联校正器，然后再转化到z域，就可得到数字控制器的脉冲传递函数D(z)，这种方法又称为w变换法。

w变换法的设计步骤如下： （1）加入零阶保持器，选定采样周期T，求出广义被控对象的脉冲传递函数G(z)。

?1?e?Ts?G(z)?Z?H(s)Gc(s)??Z?Gc(s)?

?s?（2）用双线性变换

Tw2 z?T1?w21?将G(z)变换为w域的广义被控对象的传递函数G(w)。它是一个非最小相位传递函数，因此相位特性与典型的最小相位传递函数的相位特性不相同。 上述过程中，适当地选择采样周期T是很重要的。根据经验，采样频率可以选择为闭环系统带宽频率的10倍。

（3）设w?jv，代人w域的广义被控对象的传递函数G(w)中，求出G(jv)，并绘出其相频和幅频特性，读出静态误差常数、相位裕度和幅值裕度。

（4）用与连续系统相同的方法，根据控制指标的要求进行补偿校正，设计出w域的串联校正器D(w)。同时必须考虑它所对应的D(z)的物理可实现性和稳定性，设计时所考虑的性能指标一般留有余量，保证在z域实现时，系统仍能满足要求。

（5）用双线性变换

w?2z?1

Tz?1代入D(w)，求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)。

（6）根据D(z)，求出对应的差分方程，并用计算机通过编程实现。

（7）现场调试，检验性能指标是否满足要求，并进行必要的修正。

频域设计法是一种试凑法，因此设计完成后，需要通过现场的实际运行和调试，检验设计的正确性、稳定性、可靠性以及系统的精度等。如果满足给定的性能指标，设计结果就是正确的；否则需要综合考虑各项指标要求，重新设计，反复试凑，直到满足性能指标。

5.4.4 串联相位滞后校正器的w变换法设计

按照w变换法的设计步骤，串联相位滞后校正器的设计过程如下： 1、计算并选择合适的采样周期T和幅值穿越伪频率VGC。

采样周期的选择除了满足香农采样定理以外，还应根据系统的截止频率?b、计算机的要求以及零阶保持器产生的滞后相角等因素综合考虑。

（1）设计时，一般取?b??GC，所以幅值穿越伪频率为 VGC?2T tg(?GC)。

T2（2）为了防止数字控制系统出现大量的数据运算，占用大量的存储空间，通常取?s?20?b，即T??。 10?b1?e?Ts（3）零阶保持器的传递函数为：H(s)?，s?j?代入，得：

s1?e?jT?2eH(j?)??j??jT?2(e?e2j?jT?2?jT?2)sin??2T?T??j2e2

所以它能提供的相角为????T?????。当??s时，其滞后相角为18°。2?s10?2?，即：T?

5?b10T因此应当选择合适的采样周期T，使系统的截止频率满足?b?综上所述，采样周期T应该满足：

???T?。 10?b5?b2、确定系统开环增益所需的放大系数kc。

kc?kv，其中kv是指标要求的开环增益；k0是原系统的开环增益。 k03、求出G(w)，画出系统开环增益放大kc倍后的Bode图20lgkcGc(jv)，并检

验所选的幅值穿越伪频率VGC是否满足要求。

v?vGC时，被控对象提供的相角???180??PM?5?，PM是相位裕量，5°

是为克服相位滞后校正器在vGC处的-5°的滞后相角而预先补偿的。

4、计算D(w)的零点v0，一般可以取v0?0.1vGC。 5、计算D(w)的极点vp。

20lgG(jvGC)?20lgkcGc(jvGC)?20lgvpv0vpv0?0db

所以

kcGc(jvGC)?1 v0

kcGc(jvGC)即 vp?6、w域的串联相位滞后校正器D(w)的传递函数为：

wvoD(w)?kc

w1?vp1?7、利用双线性变换法，把w?函数D(z)。

8、求出对应的差分方程，编写计算机程序。 例5-6 设被控对象的传递函数Gc(s)?满足下列性能指标。

① 系统的速度增益kv?4

2z?1代入D(w)，求出数字控制器的脉冲传递

Tz?12，采用频域法设计数字控制器，

s(s?1)

② 截止频率?b?0.6rad/s ③ 相位裕量PM≥35°

解：① 根据前面的分析，取?b??GC?0.6rad/s，采样周期T满足

?? ?T?10?b5?b即 0.52?T?1.05

可以选择T?1s，幅值穿越伪频率为 VGC?2Ttg(?GC)?0.62rad/s。 T2② 原系统的开环速度增益k0?limsGc(s)?2，所以系统开环增益所需的放大

s?0系数kc?2。

③ 系统广义被控对象的脉冲传递函数为：

0.736z?1(1?0.717z?1)G(z)?Z?H(s)Gc(s)?? ?1?1(1?z)(1?0.368z)用双线性变换法，求出w域的传递函数为：

2(?G(w)?ww?1)(?1)212.16

ww(?1)0.924④ 令w?jv，系统开环增益放大kc倍后的幅频特性曲线20lgkcGc(jv)如图5.9所示。

db 20 0

-20 -40 -20 0.924 2 12.16 图5.9 kcGc(jv)的幅频特性曲线

v