内蒙古包头市、乌兰察布市2015年中考数学试题（word版含解析）(6)

∴∠PDA=∠AOD， ∵∠P=∠P， ∴△PDA∽△POD， ∴

=

，

设OA=x， ∴PA=x，PO=2x， ∴

=，

2

∴2x=16，x=2∴OA=2

．

，

点评： 本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

25．（12分）（2015?包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求线段CD的长；

（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？ （3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l． ①t为何值时，l经过点C？

②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．

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考点： 四边形综合题．

分析： （1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；

（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解； （3）①当PQ的垂直平分线经过点C进行分析解答； ②当PQ的垂直平分线l经过点D时进行分析解答． 解答： 解：（1）如图1，作DE⊥BC于E，

∵AD∥BC，∠A=90°， ∴四边形ABED为矩形， ∴BE=AD=1，DE=AB=3， ∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE+EC=DC， ∴

厘米；

2

2

2

（2）∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒， ∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米， 且0＜t≤2.5， 作QH⊥BC于点H， ∴DE∥QH， ∴∠DEC=∠QHC，

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∵∠C=∠C， ∴△DEC∽△QHC， ∴∴∴∴

， ， ，

，

，

分两种情况讨论：

①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时，即t﹣5t+5=0， 解得：

（舍去）；

，

2

，

②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时，即t﹣5t+10=0， ∵△＜0， ∴方程无解， ∴当t为（3）如图2，

2

秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分；

①当PQ的垂直平分线l经过点C时，可知PC=QC， ∴5﹣t=2t， ∴3t=5， ∴t=，

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∴当t=秒时，直线l经过点C； ②如图3，

当PQ的垂直平分线l经过点D时， 可知DQ=DP，

连接DP，则在Rt△DEP中，DP=DE+EP， ∴DQ=DE+EP，

∴（5﹣2t）=3+（t﹣1）， ∴t1=1，t2=5（舍去）， ∴BP=1厘米，

∴当t=1秒时，直线l经过点D，此时点P与点E重合； 如图4，连接FQ，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∵直线l是△DPQ的对称轴，

∴△DEF≌△DQF，∠DQF=90°，EF=QF，

设EF=x厘米，则QF=x厘米，FC=（4﹣x）厘米， 在Rt△FQC中，FQ+QC=FC， 222x+2=（4﹣x）， ∴x=， ∴EF=厘米，

在Rt△DEF中，DE+EF=DF，

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2

2

2

2

2

2

∴∴DF=

厘米，

，

在Rt△DEF中，EG⊥DF， ∴∴EG=∴EG=

， 厘米，

厘米．

，

∴PQ=2EG=

点评： 此题考查了四边形的综合题，能够根据勾股定理、解直角三角形的知识、三角形的面积公式进行分析讨论．

26．（12分）（2015?包头）已知抛物线y=x+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D． （1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；

（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D的坐标；

（2）根据点的坐标求出△AOC，△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案；

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