数字信号处理实验指导书(7)

title('极点在单位圆内'); subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20); z2=[0.3,0]';p2=[0.6+0.8j,0.6-0.8j]'; [b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k); subplot(3,2,3);zplane(z2,p2); title('极点在单位圆上'); subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20); z3=[0.3,0]';p3=[1+j,1-j]'; [b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k); subplot(3,2,5);zplane(z3,p3); title('极点在单位圆外'); subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);

程序运行结果如图3-3所示。由图可见，这三个系统的极点均为复数且处于z平面的右半平面。由图可知，当极点位于单位圆内，系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛；当极点位于单位圆上，系统的单位序列响应为等幅振荡；当极点位于单位圆外，系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。由此可知系统1、2为稳定系统。

极点在单位圆内Impulse ResponseImaginary Part0-1-202Real Part极点在单位圆上 Amplitude110-10Imaginary Part1015n (samples)Impulse Response50-1-202Real Part极点在单位圆外 Amplitude120-201015n (samples)Impulse Response5Imaginary Part0-1-20Real Part2 Amplitude15000-500051015n (samples)

图3-3

由以上三例可得结论：系统只有在极点处于单位圆内才是稳定的。 例3-6 已知某离散时间系统的系统函数为

0.2?0.1z?1?0.3z?2?0.1z?3?0.2z?4H(z)?

1?1.1z?1?1.5z?2?0.7z?3?0.3z?4求该系统的零极点及零极点分布图，并判断系统的因果稳定性。 程序清单如下： b=[0.2,0.1,0.3,0.1,0.2]; a=[1,-1.1,1.5,-0.7,0.3]; rz=roots(b) rp=roots(a)

subplot(2,1,1);zplane(b,a); title('系统的零极点分布图');

subplot(2,1,2);impz(b,a,20); title('系统的单位序列响应'); xlabel('n');ylabel('h(n)'); 程序运行结果如下： rz =

-0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682i rp =

0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i

系统的零极点分布图1Imaginary Part0.50-0.5-1-3-201Real Part系统的单位序列响应-1230.60.4h(n)0.20-0.202468n1012141618

图3-4

由零极点分布图可见，该系统的所有极点均在单位圆内，因此该系统是一个因果稳定系统。

3、离散系统的频率响应

（1）离散系统的频率响应的基本概念 已知稳定系统传递函数的零极点增益模型为

H(z)?K?(z?cm?1Nn?1Mm)

?(z?d则系统的频响函数为

n)H(ej?)?H(z)z?ej??K?(em?1Nn?1Mj??cm)?Kn?Cm?1Nn?1Mmej?m?H(ej?)ej?(?)

jn?(e??dj)?De?n其中，系统的幅频特性为

H(e)?Kj??Cm?1Nn?1Mm

n?D系统的相频特性为

?(?)???m???n??(N?M)

m?1n?1MN由以上各式可见，系统函数与频率响应有着密切的联系。适当地控制系统函数的零极点分布，可以改变离散系统的频响特性：

① 在原点（z=0）处的零点或极点至单位圆的距离始终保持不变，其值|ej|=1，所以，对幅度响应不起作用；

ω

② 单位圆附近的零点对系统幅度响应的谷值位置及深度有明显影响；

③ 单位圆内且靠近单位圆附近的极点对系统幅度的峰值位置及大小有明显的影响。 （2）系统的频响特性分析

例3-7 已知某离散时间系统的系统函数为

0.1321?0.3963z?2?0.3963z?4?0.1321z?6H(z)?

1?0.34319z?2?0.60439z?4?0.20407z?6求该系统在0～П频率范围内的相对幅频响应与相频响应。 程序清单如下：

b=[0.1321,0,-0.3963,0,0.3963,0,-0.1321]; a=[1,0,0.34319,0,0.60439,0,0.20407]; freqz(b,a);

程序运行结果如图3-5所示。该系统是一个IIR数字带通滤波器。其中幅频特性采用归一化的相对幅度值，以分贝（dB）为单位。

Magnitude (dB)-50-100-1500.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (?? rad/sample)0.910Phase (degrees)-200-400-600-80000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (?? rad/sample)0.91

图3-5

例3-8 已知某离散时间系统的系统函数为

0.2?0.1z?1?0.3z?2?0.1z?3?0.2z?4H(z)?

1?1.1z?1?1.5z?2?0.7z?3?0.3z?4