数字信号处理实验指导书(10)

x(n)10.80.60.40.2001020|X(k)|4321010203040210-1010304010.80.60.40.2010IDFS|X(k)|203040arg|X(k)|203040

图4-2

（2）周期重复次数对序列频谱的影响

理论上讲，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅里叶级数来表示。实际处理时可先取K个周期进行处理，然后令K趋于无穷大，分析其极限情况。根据这一分析思路，可以观察序列由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向离散谱过渡的过程。 例4-3 已知一矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/2，一个周期的采样点数为10点，用DFS求序列的重复周期数分别为1、4、7、10时的幅度谱。

程序清单如下： xn=[ones(1,5),zeros(1,5)]; Nx=length(xn); Nw=1000;dw=2*pi/Nw;

k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); for r=0:3 K=3*r+1;

nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1); Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; subplot(4,2,2*r+1);stem(nx,x); axis([0,K*Nx-1,0,1.1]);ylabel('x(n)'); subplot(4,2,2*r+2);plot(k*dw,abs(Xk)); axis([-4,4,0,1.1*max(abs(Xk))]);ylabel('X(k)'); end

程序运行结果如图4-3所示。由图可见，序列的重复周期数越多，频谱约是向几个频点集中。当序列的周期数趋于无穷大时，频谱转化为离散谱。

10.5010.5010.5010.5002040608002040600102030024685X(k)0-45x(n)-2024X(k)0-45x(n)-2024X(k)0-45x(n)-2024X(k)0-4x(n)-2024

图4-3

2、离散傅里叶变换（DFT） （1）DFT与IDFT

在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换

对可表示为

nkX(k)=DFT[x(n)] =?x(n)WN k=0,1,2,?,N-1

n=0N-11N-1-nkx(n)=IDFT[X(k)]=?X(k)WN n=0,1,2,?,N-1

Nk=0从离散傅里叶变换定义式可以看出，有限长序列在时域上是离散的，在频域上也是离散的，式中WN=e理带来了方便。

由有限长序列的傅里叶变换和逆变换定义可知，DFT和DFS的变换公式非常相似，因此，在程序编写上也基本一致。

例4-4 已知x(n)=[0,1,2,3,4,5,6,7]，求其DFT和IDFT。要求： ① 画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg[X(k)]图形。 ② 画出x(n)图形，并与IDFT[X(k)]图形进行比较。 程序清单如下： xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; N=length(xn); n=0:N-1; k=0:N-1;

Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1);stem(n,xn);

title('x(n)');axis([-1,N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]); subplot(2,2,2);stem(n,abs(x));

title('IDFT|X(k)|');axis([-1,N,1.1*min(x),1.1*max(x)]); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk));

title('|X(k)|');axis([-1,N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk));

-j2πN，即仅在单位圆上N个等间距的点上取值，这为使用计算机进行处

title('arg|X(k)|');axis([-1,N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);

程序运行结果如图4-4所示。由图可见，与周期序列不同，有限长序列本身是仅有N点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是长度为N的离散序列。

x(n)6420642IDFT|X(k)|024|X(k)|68024arg|X(k)|68302200-2024680246810

图4-4

（2）DFT与DFS的联系

将周期序列的傅里叶级数变换对和有限长序列的离散傅里叶变换对进行比较可见，两

?换成了有限长序列x(n)，同时，由于式中Wnk的周期性，者的区别仅仅是将周期序列x(n)N因而有限长序列的离散傅里叶变换实际上隐含着周期性。

例4-5 已知周期序列的主值x(n)=[0,1,2,3,4,5,6,7]，求x(n)的周期重复次数为4次时的

DFS。要求：

① 画出主值序列周期序列的波形。

??② 画出周期序列傅里叶变换对应的X(k)和[X(k)]的图形。

程序清单如下： xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; N=length(xn); m=0:N-1; n=0:4*N-1; k=0:4*N-1;

xn1=xn(mod(n,N)+1);

Xk=xn1*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k); subplot(2,2,1);stem(m,xn); title('x(n)');

subplot(2,2,2);stem(n,xn1); title('周期序列');

subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk));

title('|X(k)|');axis([-1,4*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk));

title('arg|X(k)|');axis([-1,4*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);

?程序运行结果如图4-5所示。与例4-4相比，有限长序列x(n)可以看成是周期序列x(n)?可以看成是有限长序列以N为周期的周期延拓。频域的一个周期；反之，周期序列x(n)上的情况也一样。从这个意义上说，周期序列只有有限个序列值有意义。 （3）DFT与DTFT的联系

若离散时间非周期序列为x(n)，则它的离散傅里叶变换（DTFT）对定义为

DTFT[x(n)]=X(e)=?x(n)e-jωn

jωn=-??1πIDTFT[X(e)]=x(n)=?X(ejω)ejωndω

2π-πjωjωjω?(?)jωjω其中X(e)称为序列的频谱。可表示为X(e)=X(e)e，X(e)称为序列的幅