应用统计学 基础复习(3)

统计学 BASIC

假设从2223名登上泰坦尼克号的乘客中随机选出1人，思考下列问题： 计算P(选出一个man或一个boy), 是属于事件之（），是属于（）事件

提示：计算P:（1692＋64）/2223＝1756/2223

？练习：

①. 将一枚硬币抛三次，得到的全部是国徽的概率是多少？

②. 如果从一组包含10名男性和15名女性的组中没有放回地随机选出3个不同的人，则选

出3名男性的概率是多少？（提示：10/25 * 9/24 *8/23） 二、随机事件的概率

对随机事件的观测或试验可能有多种结果 ? 不仅想知道有哪些可能的结果，还想知某些结果出现的可能性的大小。这一可能性用数字来表示就是概率 （一）频率与概率

a) 频率是大量试验的结果，随试验次数变化的值 b) 概率是一个确定值

c) 试验次数越多，频率将无限接近于概率

d) 频率是事件发生的外在表现，概率体现事件发生的内在实质。 ? 频率与概率间的关系：

A. 样本频率总是围绕概率上下波动

B. 样本含量n越大，波动幅度越小，频率越接近概率。

？练习：下面这些值中，不是概率的有那些？ 0，1，-1，2，0.0123，3/5，5/3 ? 说明：随机变量 例：每次抛两个硬币，记录正、反面结果；结果可记录为：

硬币1正面朝上，硬币2正面朝上； 2个正面 硬币1正面朝上，硬币2反面朝上； 1个正面 硬币1反面朝上，硬币2正面朝上； 1个正面 硬币1反面朝上，硬币2反面朝上； 0个正面

正面出现的次数就是一个随机变量，记为x，我们通常对x的每个取值的概率感兴趣。 对于本例，x的取值为0、1、2。

? 说明：离散型随机变量与连续型随机变量

①. 离散型随机变量：数据间有缝隙，其取值可以列举。 例如：抛硬币10次，正面的可能

取值x为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10

②. 连续型随机变量（continous random variable）数据间无缝隙，其取值充满整个区间，无

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法一一列举每一可能值。 例如：身高、体重、百分制考试成绩 三、概率分布（probability distribution） 概率分布：描述随机变量值

及这些值对应概率

的表格、公式或图形。

? 离散型随机变量概率分布 ? 连续型随机变量概率分布 例：离散型随机变量的概率分布：

例：离散型随机变量的概率分布：

? 连续型随机变量的概率分布

? 变量的取值充满整个数值区间，无法一一列出其每一个可能值。 ? 一般将连续型随机变量整理成频数表，对频数作直方图，直方图的每个矩形顶端连接的

阶梯形曲线来描述连续型变量的频数分布。

? 如果样本量很大，组段很多，矩形顶端组成的阶梯型曲线可变成光滑的分布曲线。 大

多数情况下，可采用一个函数拟合这一光滑曲线。

? 引子：常用的概率分布

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离散型随机变量分布：二项分布、泊松分布 连续型随机变量分布：正态分布 第二节

（一）二项分布

毒性试验： 白鼠 死亡——生存 临床试验： 病人 治愈——未愈 回答题目： 判断题 答对——答错

事件 成功（A）——失败（非A）

这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试验

例：一位心理学家想了解儿童对于某种材料的再认能力。 设计了10个记忆项目，先让儿童识记，然后迚行再认测验。 结果儿童能正确再认5个项目。 请判断：该儿童对这种材料究竟有没有再认能力。

答：10个项目认对了50％，完全可能是瞎猜的结果。可以认为该儿童对于这种材料完全没有什么再认能力。

思考：认对多少个项目才算有再认能力呢？6个？7个？…… ? 作为研究者，不能凭感觉说话。

? 要研究类似上述问题有没有数量规律性，以便找出一个数字标准：

超过这个标准，就认为有再认能力，未达到这个标准，就认为没有再认能力。 （二）二项试验

必须满足以下条件：

? 这个过程包括一个固定次数的试验。 ? 每次试验的所有结果都可以分为两类；

? 各次试验相互独立（即任何一次单独试验的结果都不影响其他试验中结果的概率）； ? 各次试验中概率必须是常数（即成功的概率恒定，失败的概率也恒定）。

例：114查号台声称，当用户查询电话号码时，90％的情况下会得到正确的电话号码。假设回答的正确率为90％，假如我们想在5次查询中有3次回答正确的概率。 （1）这个过程是一个二项分布吗？

（2）如果这个过程的结果是一个二项分布，请说明n,x,p和q的值。 解答：

? 试验次数5是固定的； ? 5次试验是独立的，使用的是不同的电话号码，接线员也不同； ? 5次试验中的每个试验都有两类结果：要么对，要么错； ? 5次试验中的每个试验，概率0.9（90％）是常数。

例：假设每年9月份的降水概率为0.4。假设30天的降水次数为X，20年中9月份降水的分布即为一个二项分布。

p =0.4, q =0.6, n =30; X 取值[0,30] 如果20年的X 值分别为：

15,18,11,12,11,16,14,12,10,12, 13,14,13,14,12,8,9,10,12,13

降水次数

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时间

（三）二项分布函数

用 n 次方的二项展开式来表达在 n 次二项试验中成功事件出现的不同次数（X＝0，1?）的概率分布，叫做二项分布函数。 1. 二项式概率分布函数：

2. 二项展开式的要点：

项数：二项展开式中共有n＋1项。 方次：p的方次，从n→0为降幂；q的方次从0→n为升幂。每项p与q方次之和等于n。 系数：各项系数是成功事件次数的组合数。

? 例： 2道是非题的情况 3道是非题的情况

4道是非题的情况

例：从男生占２/５的学校中随机抽取６个学生，问正好抽到４个男生的概率是多少？最多

抽到２个男生的概率是多少？

解：将n=6，p=2/5，q=3/5，X=4代入公式， 则恰好抽到4个男生的概率为

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例：最多抽到２个男生的概率，等于１个也没有抽到、抽到１个和抽到两个男生的概率乊和，即

3. 二项分布曲线

? 形成：以成功次数为X，组合数为Y绘制的多边图。 ? 特点（二项分布的性质）：

当当当

时，不论n有多大，二项分布曲线都总是对称的； 时，且n相当小，图形呈偏态；

相当大（≥30）时，图形逐渐接近正态分布。

4. 二项分布的应用

（1）求成功事件恰好出现X次的概率

（2）在教育与心理中主要用来判断试验结果的机遇性与真实性的界限。 5.二项分布的平均数和标准差

如果二项分布满足p＞q且 nq≥5（或者p＜q且 np≥5时），二项分布接近于 正态分布。（应用前提） ? 可用下面的方法计算：

注意——应用前提：

应用——猜测性：

某测验中有10道判断题，试分析学生的掌握情况或猜测的可能性。 ① 条件分析：

② 求均数和标准差:

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