2009年中考数学专题复习 - 压轴题(7)

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?EO?MB ?NP∥EO

············································································································· 7分 ?△BNP∽△BEO ·

BNNP ·························································································································· 8分 ??BEEO由直线y??34x?32可得：E?0，?

?2??3??在△BEO中，BO?2，EO?32，则BE?52

?2t52?NP3，?NP?65t ····································································································· 9分

216?S??t?(4?t)

253212S??t?t(0?t?4) ·································································································· 10分

553122S??(t?2)? ············································································································ 11分

5512?此抛物线开口向下，?当t?2时，S最大?

512?当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．

5

20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB=35，sin∠OAB=

55.

（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式； （2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将点O、点A分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S?QMN，△QNR的面积S?QNR，求S?QMN∶S?QNR的值.

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20. 解：（1）如图，过点B作BD⊥OA于点D. 在Rt△ABD中， ∵∣AB∣=35,sin∠OAB=

55,

∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB =35×

又由勾股定理，得 AD? ?AB255=3.

?BD222

(35)?3?6

∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.

∵点B在第一象限，∴点B的坐标为（4，3）. ??3分 设经过O(0,0)、C（4，-3）、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为

2

y=ax+bx(a≠0).

1?a?,??16a?4b??3?8由? ??100a?10b?05??b??.??4∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为y?18x?254x. ??2分

（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形 ①∵点C（4，-3）不是抛物线y?18x?254x的顶点，

∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P1 .

则直线CP1的函数表达式为y=-3. 对于y?18x?254x，令y=-3?x=4或x=6.

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∴??x1?4,?x2?6, ??y1??3;?y2??3.而点C（4，-3），∴P1(6,-3).

在四边形P1AOC中，CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣.

∴点P1（6，-3）是符合要求的点. ??1分 ②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为y?k1x. 将点C（4，-3）代入，得4k31??3.?k1??4.

∴直线CO的函数表达式为y??34x.

于是可设直线APy??32的函数表达式为4x?b1. 将点A（10，0）代入，得?3154x?2. ∴直线AP的函数表达式为y??34x?1522.

?y??3x?15由???42.?x2?4x?60?0，即（x-10）（???y?18x2?54x∴?x1?10,?x2??6??y1?0;??y 2?12;而点A（10，0），∴P2（-6，12）.

过点P2作P2E⊥x轴于点E，则∣P2E∣=12. 在Rt△AP2E中，由勾股定理，得 AP22?P2E?AE2?122?162?20.

而∣CO∣=∣OB∣=5.

∴在四边形P2OCA中，AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣.

∴点P2（-6，12）是符合要求的点. ③若OP3∥CA,设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2 将点A(10,0)、C(4,-3)代入，得

?10kb?1?2?2?0??k2?,??4k2?b2??32 ??b2??5.∴直线CA的函数表达式为y?12x?5. ∴直线OP13的函数表达式为y?2x

- 33 - x+6）=0. ??1分 www.xkbw.com/ 新课标教学网

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1?y?x??22由??x?14x?0,即x(x-14)=0. ?y?1x2?5x?84??x1?0,?x2?14,∴? ?y?0;y?7.?1?2而点O(0,0),∴P3（14，7）.

过点P3作P3E⊥x轴于点E，则∣P3E∣=7. 在Rt△OP3E中，由勾股定理，得 OP3?P3F2?OF2?7?14?75.

22而∣CA∣=∣AB∣=35.

∴在四边形P3OCA中，OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣.

∴点P3（14，7）是符合要求的点. ??1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7),

使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形. ??1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下.

①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的副半轴交与点N. 可设抛物线的函数表达式为y?a(x?2k)(x?5k)（a＞0）.

即y?ax?3akx?10ak

?a(x?32k)?222494ak.

2如图，过点M作MG⊥x轴于点G. ∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G(??3?2492?ak?, 4??3?k,0?、N(0，?2?-10ak)、M?2

k,?∴QO?2k,QR?7k,OG??S?QNR?12?QR?ON?1232k,QG?272k,ON?10ak,MG?32494ak.

2?7k?10ak?35ak.

??1212?QO?ON?212(ON?GM)?OG?12?(10ak?212?QG?GM32k?12?72k?494ak

2?2k?10ak?494ak)?2- 34 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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?12(29?15?3?2143498?7?3498)ak.

3∴S?QNM:S?QNR?(ak):(35ak)?3:20. ??2分

②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，

同理，可得S?QNM:S?QNR?3:20. ??1分 综上所知，S?QNM:S?QNR的值为3：20. ??1分 21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程

x?(m?2)x?n?1?0的两根:

2(1) 求m，n的值

(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式 (3) 过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则

是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

`1CM?1CN的值

C M A D O B N L`

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