2009年中考数学专题复习 - 压轴题

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2009年中考数学专题复习——压轴题

1.（2008年四川省宜宾市）

已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

（3） △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

2?b4ac?b??） （注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为???2a,?4a??2

yDBG

1. 解：（ 1）由已知得：c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为y??x?2x?3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE ==

1212AO?BO??1?3?1212(BO?DF)?OF?12?2?4

12EF?DF

2?c?解得 ???1?b?c?0AOFEx(3?4)?1?=9

（3）相似

如图，BD=BG?DG?1?1?BE=BO?OE?DE=DF?EF222222222 3?3?32 2?4?25 2222?- 1 - www.xkbw.com/ 新课标教学网

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所以BD?BE?20, DE?20即： BD2?BE2?DE2,所以?BDE是直角三角形

AOBDBOBE22222所以?AOB??DBE?90?,且??,

所以?AOB??DBE.

2. （08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所

示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，23)，C(0，23)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由. y y B B C C O O x T A x T A

2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，23)，

2310?8 ∴tan?OAB??3，

∴?OAB?60?

当点A′在线段AB上时，∵?OAB?60?，TA=TA′， ∴△A′TA是等边三角形，且TP?TA?， ∴TP?(10?t)sin60??32(10?t)，A?P?AP?12AT?12(10?t)，

∴S?S?A?TP?12A?P?TP?38(10?t)，

2y A′ C E B P A x 当A′与B重合时，AT=AB=

23sin60??4，

T 所以此时6?t?10.

(2)当点A′在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA′与CB的交点)，

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当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0) 又由(1)中求得当A′与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2?t?6. (3)S存在最大值

1当6?t?10时，S? ○

y E A′ P B C O F T 38(10?t)，

2A x 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，

∴当t=6时，S的值最大是23.

2当2?t?6时，由图○1，重叠部分的面积S?S○?S?A?EB ?A?TP∵△A′EB的高是A?Bsin60?， ∴S?3838(10?t)?212(10?t?4)?232

?(?t?4t?28)??238(t?2)?43

2当t=2时，S的值最大是43；

3当0?t?2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA′与○

CB的交点，F是TP与CB的交点)，

∵?EFT??FTP??ETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，

∴S?12EF?OC?12?4?23?43

综上所述，S的最大值是43，此时t的值是0?t?2.

3. （08浙江温州）如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．

?（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

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A D P B H Q

R E C

123. 解：（1）??A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．

?点D为AB中点，?BD??AB?3．

??DHB??A?90，?B??B．

?△BHD∽△BAC， DHBDBD312???AC??8?，?DH?． ACBCBC105?（2）?QR∥AB，??QRC??A?90．

??C??C，?△RQC∽△ABC，

?RQAB?QCBC，?y6?10?x10，

35x?6．

即y关于x的函数关系式为：y??（3）存在，分三种情况：

①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．

A ??1??2?90，?C??2?90，

??D P 45R E C

??1??C．

?cos?1?cosC?810?45，?QMQP?，

B 1 M 2 H Q

1?3???x?6?182?5?4． ??，?x?12555A D B H

A D B H

E P R Q

C

P E Q

R C ②当PQ?RQ时，??x?6．

35x?6?125，

③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，

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?CR?12CE?QRCR?1AC?2． 4BACA?tanC?，

??35x?62?68，?x?185152．

152综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

4.（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

A A N C P 图 3

B

D 图 2 M O B P C B

图 1

C N M O A N M O

4. 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

A ∴ △AMN ∽ △ABC．

xAN∴ AM?AN，即?．

ABAC43M O P N ∴ AN＝

34x． ……………2分

B

C ∴ S=S?MNP?S?AMN?图 1 1332?x?x?x．（0＜x＜4） ……………3分 24812（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC ＝AB2?AC2=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

xMN∴ AM?MN，即?．

ABBCMN．

A M O B

Q

D 图 2

N 45∴ MN?∴ OD?5458x，

x． …………………5分

C - 5 - www.xkbw.com/ 新课标教学网