【名师导学】2015高考数学一轮总复习 4.23 三角函数的性质课件

第23讲 三角函数的性质

1.理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、 单调性与周期性、对称性. 2.会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角 函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期. 3.理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一 些问题.

【基础检测】 1.已知函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为 1 -1, ,则 2

b-a 的值不可能是( A ) 2π B. 3 C.π 4π D. 3

π A. 3

【解析】画出函数 y=sin x 的草图分析知 b-a 的 2π 4π 取值范围为 3 , 3 .

2.已知 ω>0,函数

π π f(x)=sin ω x+4 在 2,π 上单

调递减，则 ω 的取值范围是( A ) 1 5 A. 2,4 1 3 B. 2,4 1 C. 0,2

D.(0,2]

【解析】取 排除 D. 取

π 5π 9π ω=2 ωx+4 ∈ 4 , 4 , 不合题意，

π π 3π 5π ω=1 ωx+4 ∈ 4 , 4 ,x∈ 2,π ,符合题

意，排除 B,C. π 另：ω π-2 ≤π ω≤2, π π π π π 3π ωx+ ∈ ω+ ,πω+ , 4 2 4 4 2 2

π π π π 3π 1 5 得： ω+ ≥ ,πω+ ≤ ≤ω≤ . 2 4 2 4 2 2 4

3.若函数

π f(x)=2tan kx+3 的最小正周期

T 满足

2或3 . 1<T<2,则自然数 k 的值为__________

π π π 【解析】因为 T=k,所以 1<k<2,即 <k<π,而 k 2 为自然数，所以 k=2 或 3.

4. 设函数 f(x)=cos( 3x+φ)(0<φ<π). 若 f(x)+f′(x)

π 6 是奇函数，则 φ=________ .

【 解 析 】 由 已 知 f(x) + f′(x) = cos 3x+φ - 3 sin 3x+φ =-2sin

π π 3x+φ- 为奇函数，所以 φ= . 6 6

5.如果函数

4π y=3cos(2x+φ)的图象关于点 3 ,0

π 中心对称，那么|φ|的最小值为________ . 6 4π 2× +φ 3

【 解 析 】 由 已 知 得 3cos 2π cos 3 +φ =0,

=0,即

2π π ∴φ+ =kπ+ ,k∈Z, 3 2 π π 即 φ=kπ- ,∴|φ|min= . 6 6

【知识要点】 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

π 2kπ - , 2kπ 2 k Z 2

2k ,2k k Z k , k 2 2

π 2k π + , 2kπ 2 3 k Z 2

2k ,2k k Z

k Z

2 k

2

k Z 2 k

2k k Z

2

k Z

2 k

k Z

2.y=Asin x+b(x∈R)和 y=Acos x+b(x∈R)的最大 |A|+b -|A|+b . 值为________

____ ,最小值为___________ 3. 三角函数在其定义域内不是单调函数， 但是它们 有无数个单调区间且彼此独立，运用三角函数的单调性 比较三角函数值大小时，必须使被比较的函数同名，且 自变量要落在同一个单调区间内.

4.函数 y=Asin(ωx+φ )+b,y=Acos(ωx+φ)+b 2π |ω | __;函数 y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为 T=_______ π |sin x| |ω | __, 的最小正周期为 T=________ 注意 y=___________ , π y=|cos x|的最小正周期为 T=_________ ,但 y=|tan x| π 的最小正周期仍为___________ .

一、三角函数的值域、最值、单调性及应用 例1设 f(x)=6cos2x- 3sin 2x. (1)若 π π x∈ - 4,3 时，求

f(x)的最小值及 f(x)取最

小值时 x 的值； 4 (2)若锐角 α 满足 f(α)=3-2 3,求 tan α 的值. 5

1+cos 2x 【解析】(1)f(x)=6× - 3sin 2x 2 =3cos 2x- 3sin 2x+3=2 =2 当 π 3cos 2x+6 +3 3 3 1 cos 2x- sin 2x +3 2 2

π π π π 5π x∈ -4,3 时，2x+ ∈ - 3, 6 , 6

π 5π π 所以 f(x)的最小值为 0;此时 2x+ = ,即 x= . 6 6 3 (2) 由 f(α) = 3 - 2 3 得 2 2 3, π 3cos 2α+6 + 3 = 3 -

故

π cos 2α+6 =-1,

π π π π π 又由 0<α< 得 <2α+ <π+ ,故 2α+ =π,解 2 6 6 6 6 5 4 π 得 α= π,从而 tan α=tan = 3. 12 5 3

【点评】三角函数的最值(或值域)问题，分析时应 利用换元思想研究角的最值范围后， 数形结合确定最值 或值域.

例2设函数 π),其中 ω>0.

π f(x)=4cos ω x-6 sin

ωx-cos(2ωx+

(1)求函数 y=f(x) 的值域； (2)若 大值. 【解析】(1)f(x)=4 3 1 cos ωx+ sin ωx sinωx+cos 2 2

3π π f(x)在区间 - 2 ,2 上为增函数，求

ω 的最

2ωx=2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin 2ωx+1. 因为-1≤sin 2ωx≤1,