3[1].1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算(用)

来源：网络收集时间：2025-11-10

导读：浙江省玉环县楚门中学吕联华一：空间向量的基本概念平面向量定义表示法向量的模相等向量相反向量单位向量零向量具有大小和方向的量几何表示法字母表示法 a AB 向量的大小 a 空间向量具有大小和方向的量几何表示法 AB 字母表示法 a 向量的大小

浙江省玉环县楚门中学吕联华

一：空间向量的基本概念

平面向量定义表示法向量的模相等向量相反向量单位向量零向量具有大小和方向的量几何表示法字母表示法 a AB 向量的大小

空间向量

具有大小和方向的量几何表示法 AB 字母表示法 a 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量模为1的向量长度为零的向量

长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量模为1的向量长度为零的向量

思考：空间任意两个向量是否都可以平移到

同一平面内？为什么？

O′

结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，

内，成为同一平面内的两个向量。

说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．

2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

概念加法减法运算运算律

二、空间向量的加法、减法运算平面向量空间向量定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量. 加法 :三角形法则或加法:三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则减法 :三角形法则减法:三角形法则加法交换律 a b b a 加法结合律: (a b) c a (b c )

加法交换律 a b b a

(a b) c a (b c )

加法结合律

三、空间向量的数乘运算

a 仍然是一个向量.

与平面向量一样 , 实数与空间向量 a 的乘积

⑴当 0 时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0 时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.

 例如:

a 3a

四、空间向量加法与数乘向量运算律

⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；

a c

（3）.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

即： ( a b) a b （） a a a ( ) a ( ) a

五、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的

有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.

2.空间共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实数使 a b

由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

3.A、B、P三点共线的充要条件

A、B、P三点共线

AP t AB

OP xOA yOB( x y 1)

中点公式：

1 若P为AB中点, 则 OP OA OB 2

P A O

六、共面向

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