2011-2013年卓越联盟自主招生数学试题及答案(精校版+完整版)

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2011年卓越联盟自主招生数学试题

(1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为 (A)

(2)已知sin2( + )=nsin2 ，则

6

(B)

3

(C)

2 3

(D)

5 6

tan( )

tan(

)

(A)

n 1 n 1

(B)

n n 1

(C)

n n 1

(D)

n 1

n 1

(3)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为 (A

(B

(C

(D

z2 2z 2

(4)i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则的最大值为

z 1 i

(A

(B

(C

+1 (D

(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为

(A)y=16x(B)y=8x(C)y=-16x (D)y=-8x

(6)在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为 (A

(7)若关于x的方程(A)(0，1)

2

2

2

2

(B

(C

(D

)

2

|x|2

=kx有四个不同的实数解，则k的取值范围为( ) x 4

11

(B)(，1)(C)(，+∞) (D)(1，+∞)

44

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(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为 (A

(B

(D

(C

(9)数列{an}共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( ) (A)100

(10)设 是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

k

(B)120

(C)140 (D)160

2

的旋转， 表示坐标平面关于y轴的镜面7

2

3

4

反射．用 表示变换的复合，先做 ，再做 ，用 表示连续k次的变换，则 是( ) (A)

(11)设数列{an}满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an． (Ⅰ)设bn=an+1-an，证明：若a≠b，则{bn}是等比数列； (Ⅱ)若lim(a1+a2+…+an)=4，求a，b的值．

n

4

(B)

5

(C)

2

(D)

2

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(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC． (Ⅰ)求k的取值范围；

(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？

(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x

相切． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．

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(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn． (Ⅰ)求EX1；

(Ⅱ)设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k)，k=0，1，…，b； (Ⅲ)证明：EXn+1=(1-

(15)(Ⅰ)设f(x)=xlnx，求f′(x)； (Ⅱ)设0<a<b，求常数C，使得

1

)EXn+1． a b

1b

|lnx C|dx取得最小值；

b a a

(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为ma,b，证明：ma,b<ln2．

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2012年卓越联盟自主招生数学试题

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2013年卓越联盟自主招生数学试题

一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．） （1）已知f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在(0, )上递增，则

（A）f(2) f( log25) f( 3) (B) f( 3) f(2) f( log25) (C) f( 3) f( log25) f(2) (D) f(2) f( 3) f( log25)

（2）已知函数f(x) sin( x )( 0,0 相邻两个零点的距离为

0.7

0.7

0.7

0.7

2

)的图象经过点B(

6

,0)，且f(x)的

，为得到y f(x)的图象，可将y sinx图象上所有点 2

1

（A）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变

23

1

(B) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变

23

(C) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

3

(D) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

3

（3）如图，在A,B,C,D,E五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为 （A）21 (B)24 (C)30 ( D)48

(4)设函数f(x)在R上存在导数f (x)，对任意的x R，有

f( x) f(x) x2，且在(0, )上f (x) x．若

f(2 a) f(a) 2 2a，则实数a的取值范围为

（A）[1, ) (B) ( ,1] (C) ( ,2] (D) [2, )

二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

x2y2

1的一个焦点，则双曲线的渐 （5）已知抛物线y 2px(p 0)的焦点是双曲线8p

2

近线方程为 ．

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（6）设点O在 ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且OD 2DE 1，

则OA 2OB 3OC ．

（7

）设曲线y

与x轴所围成的区域为D，向区域D内随机投一点，则该点落

2

2

入区域{(x,y) Dx y 2}内的概率为．

(8)如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD与OE垂直，垂足是D，割线EC交圆O于B,C，且

ODC , ． D B C，则 OEC （用 , 表示）

三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （9）（本小题满分13分）

在 ABC中，三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c．

已知(a c)(sinA sinC) (a b)sinB．

（1）求角C的大小； （2）求sinA sinB的最大值．

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x2y2设椭圆2 ，斜率为k的直线l过点E(0,1)且与椭圆交于 1(a

2)的离心率为

a4

（1）求椭圆方程；（2）若直线l与x轴相交于点G，且GC DE，求k的值； C,D两点．

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