新北师大九年级下2.3 确定二次函数的表达式(1)

九年级数学 ( 下 ) 第二章《二次函数》2.3 确定二次函数的表达式(1)

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复习引入y=ax² +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)

1.二次函数表达式的一般形式是什么?

2. 二次函数表达式的顶点式是什么? y=a(x-h)2+k (a ≠0)

3.我们在用待定系数法确定一次函数 y=kx+b(k,b 为常数，k≠0)的 关系式时，通常需要2 个独立的条件.确定反比例函数 y= k x 1

(k≠0)关系式时，通常需要

个条件.

如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 的关系式时，通常又需要几个条件？

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初步探究如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平

距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？

解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为(4,3), 因此设它的关系式为y=a(x-4)2+3 又∵图象过点(10,0) ∴(10-4) a+3=02

1 解得a=- 12

∴图象的表达式为 1 y=- (x-4)2+3 12

确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴或小 组交流。确定二次函数的关系式y=ax² +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0), 通常需要3个条件;

当知道顶点坐标(h,k)和图象上的另一点坐标两个条件 时，用顶点式 y=a(x-h)2+k 可以确定二次函数的关系式.

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初步探究

例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和

(-1,-3),求出这个二次函数的表达式.

解：将点(2,3)和(-1,-3)分别代入二次函 4a+c=3 数y=ax +c中，得 a+c=-32

a=3 解这个方程组，得 c=-5

∴所求二次函数表达式为：y=2x2-5.

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深入探究

2.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且 经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的 表达式.

在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可 以确定它的表达式？小结： 1.用顶点式y=a(x-h)2+k时，知道顶点(h,k)和图象上

的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式。2. 用一般式y=ax²+bx+c确定二次函数时，如果系数 a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标， 也可以确定这个二次函数的关系式.

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深入探究

3.二次函数的图象经过点 A(0,4),B(1,0) ,C(2,0),你能确定这个二次函数的表达式吗 你有几种方法？与同伴进行交流.

已知抛物线与x轴的交点坐标分别是x1,x2,则选择交点式。

y a( x x1 )( x x2 )

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总结提升通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采

用的一般方法是什么?

(待定系数法)

你能否总结出上述解题的一般步骤? (1)设二次函数的表达式； (2)根据图象或已知条件列方程(或方程组);

(3)解方程(或方程组),求出待定系数； (4)答：写出二次函数的表达式.

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随堂练习

1.已知二次函数的图象顶点是(-1,1),且经过点 (1,-3),求这个二次函数的表

达式.

y ( x 1) 12

2. 已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点(1,1)与(2,3) 两点。 (1)求这个二次函数的表达式. (2)请你更换题中的部分已知条件，重新设计一个二次函 数y=x²+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数与(1) 2 相同。 y x x 1

3.已知二次函数的图象顶点是(2,3),且经过点(-1,0), 求这个二次函数的表达式.

4.已知二次函数图象与x轴交点的横坐标为-2和1,且经过点 (0,1),求这个二次函数的表达式.

5.高尔夫球手击出高尔夫球的运动路线是一条抛物线，当球 水平运动了24m时，达到最高点。落球点比击球点的海拔 低1m,水平距离为50m。 (1)建立适当的直角坐标系，求高度h(m)关于水平距离x(m) 的二次函数表达式。 (2)与击球点相比，球运动到最高点时有多高？

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巩固提高

根据下列条件求二次函数解析式1. 二次函数的图象过(1,0),(-1,-4)和(0,-3)三点. 2.二次函数图象与x轴交点(2,0)(-1,0)与y轴交点是 (0,-1) 3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,-5),B(5,0)两点， 它的对称轴为直线x=2。 4.已知二次函数的图象经过原点，且当x=1时，y有最小值 -1, 求这个二次函数的解析式。 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直 线y=x+1上，并且图象经过点(3,-6)。求二次函数表达 式。

解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c 的图象过A(2,0),B(0,﹣ 1)和C(4,5)三点， 4a+2b+c=0 ∴ c=-1 , 16a+4b+c=5 1 1 ∴a= ,b=﹣ ,c=﹣1, 2 2 ∴二次函数的解析式为 1 2 1 y= x ﹣ x﹣1; 2 2

1 1 解：(1)y= x2﹣ x﹣1; 2 2 1 1 (2)当y=0时，得 x2﹣ x﹣ 1=0; 2 2 解得x1=2,x2=﹣1, ∴点D坐标为(﹣1,0); (3)由图象知，当一次函数的值大 于二次函数的值时，x的取值范围是 ﹣1<x<4.