2011中考数学一轮复习【几何篇】17.相似形的综合运用

『精品复习』2011中考数学一轮复习【几何篇】(25份) 包括考点 经典例题分析 还有相应的练习。

17.相似形的综合运用（一）

知识考点：

会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。另外，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。

精典例题：

【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使AE＝从AB的中点F作HF⊥EC于H。

（1）求证：FH＝FA； （2）求EH∶HC的值。

证明：（1）连结EF，FC，在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC，∠A＝∠B＝90

∵AE＝

14

14

AD，

AD，F为AB的中点，∴

AEAF

FBBC

∴△EAF∽△FBC，∴∠AEF＝∠BFC，∠EFA＝∠CFB ∴∠EFC＝900，

EFFC

12

EA

F

B

又∵∠EFC＝∠B＝90

∴△EFC∽△FBC

∴∠HEF＝∠BFC，∠ECF＝∠BCF ∴∠AEF＝∠HEF，∠AFE＝∠HFE ∴△EAF≌△HEF ∴FH＝FA （2）由（1）得同理FC

2

例1图

2

EFFC

12

，由（1）易证△EHF∽△EFC，从而可得EF

2

2

EH EC，

D

CH CE，于是EH∶HC＝EF∶FC＝1∶4

ABBC

56

A

变式：如图，在矩形ABCD中，F在CD上，且EC＝

16

，点E在BC上，点

B

E

C

F

BC，FC＝

35

CD，FG⊥AE于G，。求证：

娈式图

AG＝4GE。

（提示：证△ECF∽△FDA得EF∶AF＝1∶2，再证△EFG∽△EAF∽△FAG即可） 【例2】已知，在△ABC中，∠ACB＝900，过C作CD⊥AB于D，AD＝m，BD＝n，

AC∶BC＝2∶1，又关于x的方程

22

14

x 2(n 1)x m

22

12 0的两实数根的差的平

方小于192，求整数m、n的值。

分析：如图，易证△ABC∽△ADC，AC∶BC＝AD∶BD＝m∶n＝2∶1，即

m 2n，再由方程两根差的平方小于192可得n

12

2

2

，又由判别式△≥0知n≤2

∴

12

＜n≤2，又n为整数，∴n＝1，2

∴m＝2，n＝1或m＝4，n＝2

『精品复习』2011中考数学一轮复习【几何篇】(25份) 包括考点 经典例题分析 还有相应的练习。

G

AE

D

AF

E

C

D

F

BD

A

BCBC

例2图

问题一图

问题一图

探索与创新：

【问题一】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥ EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）。

（1）△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。 （2）设

ABBC

＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你

的结论并求出k的值；若不存在，说明理由。

解：（1）相似，如图

证明：延长FE与CD的延长线交于点G。在Rt△AEF与Rt△DEG中

∵E是AD的中点

∴AE＝ED，∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG ∴△AFE≌△DGE

∴E为FG的中点。又CE⊥FG，∴FC＝GC ∴∠CFE＝∠G。∴∠AFE＝∠EFC，

又△AEF与△EFC均为直角三角形

∴△AEF∽△EFC。

（2）①存在。如果∠BCF＝∠AEF，即k＝

ABBC

32

DCDE

ABBC

32

时，△AEF∽△BCF。

证明：当 时，

3。∴∠ECG＝30。∴∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30，

∴∠BCF＝900－600＝300。又△AEF和△BCF均为直角三角形。∴△AEF∽△BCF。

②因为EF不平行于BC，∴∠BCF≠∠AFE。∴不存在第二种相似情况。

跟踪训练：

一、填空题：

1、在Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于D，AB＝2，DB＝1，则DC＝ ，AD＝ 。

2、在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，BD＝

13

AB，在AC上取一点E，得

△ADE，当AE的长为 时，图中的两个三角形相似。

『精品复习』2011中考数学一轮复习【几何篇】(25份) 包括考点 经典例题分析 还有相应的练习。

3、在Rt△ABC中，AD为斜边上的高，S ABC 4S ABD，则AB∶BC＝ 二、选择题：

在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB于D，AB＝a，则DB＝（ ） A、

a4

B、

a3

C、

a2

D、

3a4

三、解答题：

1、如图，在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，为了求出AC，在图中你能找出哪些适当的条件？

C

C

E

A

DBADFB

第2题图

2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E是BC上任意一点，EF⊥AB于F。求

第1题图

证：AC

2

AD AF CD EF。

3、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。求证：

（1）△AED∽△CBM； （2）AE CM AC CD

E

C

D

E

MA

D

BAF

GB

第3题图

第4题图

4、已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE AD 16，AB 45，求EG的长。

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、3，3；2、10或二、选择题：A 三、解答题：

1、AD、DC；AB、BC；AD、AB；AD、BD；AB、BD；CD、BD；BD、BC；BC、CD；AD、BC；AB、CD等。

2、由△ADC∽△ACB得ACAD AB AD(AF FB) AD AF AD FB，又由

2

325

；3、1∶2；

『精品复习』2011中考数学一轮复习【几何篇】(25份) 包括考点 经典例题分析 还有相应的练习。

△ACD∽△EBF得AD FB CD EF，所以AC

3、略 4、4

2

AD AF CD EF